Б) Свободные затухающие колебания

Ф И З И К А

Индивидуальные задания

для подготовки бакалавров направления 270800 «Строительство» (2-ой семестр)

I. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Механические колебания и волны

; ; – смещение из положения равновесия, скорость и ускорение колеблющейся точки;

– дифференциальное уравнение гармонических колебаний;

– возвращающая сила при гармонических колебаниях;

; ; – период колебаний пружинного, математического и физического маятников;

; – закон сохранения механической энергии;

; – амплитуда и начальная фаза результирующего колебания при сложении однонаправленных колебаний одинаковой частоты;

– уравнение траектории точки, колеблющейся с одинаковыми частотами в перпендикулярных направлениях;

– дифференциальное уравнение затухающих колебаний;

– круговая частота собственных незатухающих колебаний;

– коэффициент затухания;

– сила сопротивления при затухающих колебаниях;

– уравнение затухающих колебаний;

– круговая частота затухающих колебаний;

– амплитуда затухающих колебаний;

– логарифмический декремент затухания;

(здесь ) – дифференциальное уравнение вынужденных колебаний;

; ; – смещение из положения равновесия, амплитуда и фаза вынужденных колебаний; – резонансная частота;

, – уравнения плоской и сферической волн;

– волновое число (модуль волнового вектора);

– длина волны;

Электромагнитные колебания и волн.

Колебательный контур

А) Свободные незатухающие колебания

– закон сохранения энергии;

– дифференциальное уравнение свободных колебаний;

– зависимость заряда на конденсаторе от времени при свободных незатухающих колебаниях в колебательном контуре;

– период колебаний в колебательном контуре;

– круговая частота свободных колебаний в колебательном контуре;

– длина волны, на которую настроен колебательный контур (c – скорость света в вакууме);

б) Свободные затухающие колебания

– дифференциальное уравнение затухающих колебаний;

– зависимость заряда на конденсаторе от времени при затухающих колебаниях в колебательном контуре;

– коэффициент затухания;

– циклическая частота затухающих колебаний;

– определение логарифмического декремента затухания;

– связь логарифмического декремента и коэффициента затухания;

– добротность колебательного контура;

Примеры решения задач.

Задача 1.

Найтичастотуколебанийгрузамассой m =0.2 кг, подвешенногонапружинеипомещенноговмасло,если коэффициентсопротивлениявмасле r =0.5кг/с,акоэффициент жесткости пружины k =50 Н/м.

Решение

Колебания груза в масле являются затухающими, их круговая частота:

,

где – круговая частота собственных незатухающих колебаний; – коэффициент затухания. Тогда частота затухающих колебаний .

Ответ: ν =2.51 Гц.

Задача 2

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 2.66 нФ и катушки без сердечника, намотанной из медного провода диаметром 0.5 мм (витки вплотную, толщиной изоляции пренебречь). Длина катушки 20 см. Найти логарифмический декремент затухающих колебаний. Удельное сопротивление меди равно 1.7^.10^-8 Ом · м.

Решение

Логарифмический декремент затухания выразим через период затухающих колебаний

(1)

и коэффициент затухания

: , (2)

(3)

а циклическую частоту ω_З затухающих колебаний – через собственную частоту контура

: (4)

. (5)

Здесь R – активное сопротивление катушки, а – её индуктивность:

. (6)

Число витков катушки равно , так как витки расположены вплотную и толщина изоляции провода мала. Площадь сечения катушки выразим через её радиус r: . Тогда из (6) получим: , или

. (7)

Активное сопротивление R катушки определяется длиной провода ( – длина одного витка) и его сечением : , или . Таким образом, из (2) и (7) получим: ; или

. (8)

Теперь выразим частоту собственных колебаний из (4) и (7): ; ; а затем – частоту затухающих колебаний из (5) и (8): ;

. (9)

Уравнения (1), (3) и (9) дают: , . Окончательно: , или . Подставим численные значения: .

Ответ: .

ЗАДАНИЕ 1.

1. Написать уравнение гармонических колебаний, если максимальное ускорение точки 49.3 см/с², период колебаний 2 с, смещение точки из положения равновесия в начальный момент времени 25 мм.

2. Амплитуда колебаний материальной точки массой 3 г равна 15 см, круговая частота 10 рад/с. Определить максимальную величину возвращающей силы и максимальную кинетическую энергию точки.

3. На тело, совершающее гармонические колебания с периодом 1 с и начальной фазой p/6, действует максимальная возвращающая сила 17.5 Н. При этом полная энергия колебаний 2.85 Дж. Написать уравнение колебаний. Колебания происходят по закону косинуса.

4. Материальная точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид: x=0.1sin(5p t) (смещение из положения равновесия - в метрах, время – в секундах). Масса точки 50 г. Найти силу, действующую на точку: 1) в тот момент, когда фаза колебаний равна 30⁰; 2) в положении наибольшего отклонения точки.

5. Математический маятник массой 100 г совершает гармонические колебания по закону x=0.25sin(2p t) (смещение из положения равновесия - в метрах, время – в секундах). Определить натяжение нити в момент времени t = T/2.

6. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид: x=0.05sin(2t) (смещение из положения равновесия - в метрах, время – в секундах). В момент, когда на точку действовала возвращающая сила 5 мН, точка обладала потенциальной энергией 0.1 мДж. Найти фазу колебаний в этот момент времени.

7. Логарифмический декремент затухания математического маятника равен 0.2. Найти, во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание, то есть за время t = T.

8. Плоская волна с периодом 1.2 с и амплитудой 2 см распространяется со скоростью 15 м/с. Чему равно смещение точки, находящейся на расстоянии 45 м от источника волн в момент, когда от начала колебаний источника прошло 4 с?

9. Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника колебаний, колеблющегося по закону: x = sin(ωt), в момент времени t=T/6 равно половине амплитуды. Найти длину волны (волна плоская).

10. Определить разность фаз колебаний двух точек среды, находящихся на расстоянии 0.1 м друг от друга, если в среде распространяется плоская волна вдоль линии, соединяющей эти точки. Скорость распространения волны v=340 м/с, частота колебаний источника 1000 Гц.

11. При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковой частотой и амплитудами, равными 0.02 и 0.04 м, получается гармоническое колебание с амплитудой 0.05 м. Найти разность фаз складываемых колебаний.

12. Для звуковой волны, описываемой уравнением , где амплитуда выражена в метрах, круговая частота – в с^-1, волновое число – в м^-1, найти: а) амплитуду скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны; б) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны.

13. Однородный стержень совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Длина стержня 50 см. Найти период колебаний стержня.

14. Зависимость напряжения от времени на обкладках конденсатора с емкостью 26 нФ в колебательном контуре имеет вид: U=10 cos(2000π t). (Время – в секундах, напряжение – в вольтах.) Определить период электромагнитных колебаний, индуктивность контура, максимальную энергию электрического и магнитного полей.

15. Катушка индуктивностью 1 мГн и воздушный конденсатор, состоящий из двух круглых пластин диаметром 20 см каждая, соединены параллельно. Расстояние между пластинами 1 см. Определить период колебаний.

16. Конденсатор электроемкостью 5×10^-10 Ф соединен параллельно с катушкой длиной 0.4 м и площадью сечения 5×10^{-4 м2}. Катушка содержит 1000 витков. Сердечник немагнитный. Найти период колебаний.

17. Колебательный контур содержит конденсатор электроемкостью 8.10^-12 Ф и катушку индуктивностью 0.5×10^-3 Гн. Каково максимальное напряжение на обкладках конденсатора, если максимальный ток 4×10^-2 А?

18. Катушка (без сердечника) длиной 0.50 м и площадью сечения 3×10^{-4 м2} имеет 1000 витков и соединена параллельно с конденсатором. Конденсатор состоит из пластин площадью 75×10^{-4 м2} каждая. Расстояние между пластинами 5·10^{-3 м. Диэлектрик - воздух. Определить период колебаний контура.}

19. Определить частоту собственных колебаний колебательного контура, состоящего из конденсатора емкостью 2 мкФ и катушки длиной 10 см и радиусом 1 см. Катушка без сердечника, содержит 500 витков.

20. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 10 мкГн и конденсатора. Максимальный заряд конденсатора 2.5 мкКл, максимальная разность потенциалов на его обкладках 100 В. Определить длину волны, на которую будет резонировать контур.

21. Какую индуктивность надо включить в колебательный контур, чтобы при емкости в 2 мкФ получить звуковую частоту 1000 Гц? Сопротивлением пренебречь.

22. Какова должна быть емкость конденсатора, чтобы с катушкой индуктивностью 25 мкГн обеспечить настройку на длину волны 100 м?

23. Колебательный контур имеет индуктивность 1.6×10^-3 Гн. Электроемкость конденсатора 4×10^-8 Ф и максимальное напряжение на его зажимах 200 В. Определить максимальную силу тока в контуре. Сопротивление контура мало.

24. Зависимость напряжения от времени на обкладках конденсатора с емкостью 26 нФ в колебательном контуре имеет вид: U=10 cos(2000πt). (Время – в секундах, напряжение – в вольтах.) Определить период электромагнитных колебаний, индуктивность контура, максимальную энергию электрического и магнитного полей.

25. Колебательный контур, состоящий из воздушного конденсатора с пластинами, расположенными на расстоянии 3.6 мм друг от друга, и катушки с индуктивностью 1 мкГн, резонирует на волны длиной 10 м. Определить площадь пластин конденсатора.

26. Сила тока в колебательном контуре со временем изменяется по закону:

I = - 0.02sin(400πt) (время – в секундах, сила тока – в амперах). Индуктивность контура 1 Гн. Найти: 1) период колебаний; 2) емкость конденсатора; 3) максимальную разность потенциалов на обкладках конденсатора.

27. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью 0.5 нФ и катушку индуктивностью 0.4 мГн. Определить длину волны излучения, генерируемого контуром.

П. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА

Дата добавления: 2015-12-07