Свойства обратной матрицы

1)

2)

3)

Пример.

Найти обратную матрицу к заданной

Решение. Обратная матрица к данной определяется формулой

.

Определитель матрицы А равен

Союзная матрица для матриц второго порядка имеет вид

где A _ij – алгебраическое дополнение элемента a_ij.

В нашем случае алгебраические дополнения для элементов задан­ной матрицы:

A₁₁ = – 2; A₁₂ = – 4; A₂₁ = – (–3) =3; A₂₂ = 1.

Из них составим союзную матрицу к заданной

Тогда обратная матрица будет иметь вид .

Ранг матрицы

Познакомимся еще с одной числовой характеристикой матрицы – рангом матрицы. Понятие ранга матрицы применяется при исследовании и решении систем линейных алгебраических уравнений.

Определение 1.12 Если в матрице выделить произвольные строк и столбцов , то элементы стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка . Определитель этой матрицы называется минором -го порядка матрицы и обозначается .

Таких миноров можно составить

Пример. Рассмотрим матрицу ,

1) Каждый элемент матрицы есть минор 1-го порядка, например . Миноров первого порядка будет .

2) Миноры второго порядка: и т.д. Миноров второго порядка будет 18.

3) Миноры третьего порядка:

Миноров третьего порядка всего четыре.

Миноров четвертого и выше порядков не будет, так как

Как видим, среди миноров есть миноры равные нулю и отличные от нуля.

Определение 1.13 Число r называется рангом матрицы , если:

1) у матрицы имеется минор порядка r отличный от нуля;

2) все миноры порядка (r +1) и выше равны нулю.

Обозначение: r ( ), .

Иными словами, ранг матрицы – это наивысший порядок миноров отличных от нуля.

Определение 1.14 Отличный от нуля минор , порядок которого равен рангу матрицы , называется базисным минором матрицы .

Пример. Найдем ранг матрицы , рассмотренной в примере выше.

У этой матрицы существует минор 2 -ого порядка отличный от нуля , а все миноры третьего порядка равны нулю. Следовательно, .

Минор является базисным для матрицы . Также являются базисными минорами и все другие миноры второго порядка отличные от нуля, например, .

Дата добавления: 2015-11-26