Полный двухфакторный эксперимент.

Поиск оптимальных условий ведения технологического процесса путем математического факторного планирования.

Пусть нам при проведении исследований требуется определить оптимальные значения двух технологических факторов P и τ (P – давление прессования картона, τ

– продолжительность его прессования или уплотнения в горячем прессе). Условием оптимизации факторов является обеспечение минимального значения показателя качества картона – его сжимаемости под давлением – С. Тогда С – параметр

оптимизации.	По
традиционной	методике
необходимо	исследовать
всю	область	факторного

пространства (в нашем случае плоскость P-0-τ). Результаты исследования дадут значения сжимаемости C как функции от P и τ, которую называют поверхностью отклика S (см. рис.14). Мы выбрали специально двухфакторную модель, чтобы ее наглядно показать на рисунке. В случае большего числа факторов (а их число не имеет ограничения) точного наглядного представления получить невозможно. Построив поверхность отклика (см. рис.14), на ней

графическим методом можно

найти минимальное значение

сжимаемости (C_мин) и соответствующие ему оптимальные значения технологических

факторов P_опт и τ_опт. При такой традиционной методике исследований требуется проведение большого числа опытов, чтобы охватить всё факторное пространство, в особенности при большом числе факторов, учитывая необходимость их парного сочетания.

При математическом факторном планировании используется небольшая область факторного пространства (на рис. 14 обозначена цифрами 1,2,3,4). Благодаря чему значительно сокращается количество опытов и время их проведения. По результатам опытов рассчитывают коэффициенты уравнения регрессии. Проверяют их значимость. Рассчитывают и проводят крутое восхождение (этот термин используется как к достижению максимума, так и минимума), по результатам которого находят оптимальные значения технологических параметров P_опт и τ_опт (см. рис. 14). Здесь может возникнуть вопрос: как же можно неплоскую поверхность отклика описывать линейным уравнением? Но надо помнить, что уравнение регрессии мы получаем для небольшой области факторного пространства, для которой с понятным допущением (с целью упрощения) этот участок поверхности отклика мы можем считать плоским. А, самое главное, - это уравнение дает направление движения к оптимуму. Поэтому используют термин «движение по градиенту».

Теперь рассмотрим конкретный пример полного факторного планирования, при котором реализуют все возможные комбинации из k факторов на двух выбранных уровнях. Необходимое количество опытов при этом определяется по формуле N=2^k (34). Для двухфакторного эксперимента N = 2² = 4 (см. табл. 1).

В примере приведен поиск оптимальных условий уплотнения готового жёсткого картона. В качестве параметра оптимизации выбрали сжимаемость электрокартона. На основании априорной информации и предварительных опытов было установлено, что величина сжимаемости электрокартона (С) при проведении уплотнения зависит от давления уплотнения (Р), продолжительности уплотнения (τ) температуры плит пресса и влажности картона. Последние два фактора стабилизировали: температуру плит пресса - на уровне (150±3) °С, влажность образцов - на уровне 2-3% путём их сушки перед опытом в сушильном шкафу при температуре 105 °С в течении 10 часов. Температура (150±3)°С выбрана на основании того, что согласно литературным данным она соответствует температуре стеклования целлюлозы.

На основании анализа предварительных опытов были выбраны интервалы варьирования, уровни факторов, составлена матрица планирования и проведены опыты по определению минимального значения сжимаемости при уплотнении картона в горячем прессе. Результаты опытов приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Матрица планирования и результаты опытов

Количество	Кодированное	Натуральное
параллельных	значение фактора	значение фактора	Сi,%	Sb, %
опытов
Pi	τi	Рi, МПа	τi,мин
	+	+			2,45
	-	+			3,10	0,089
	+	-			2,34
	-	-			3,88

По результатам опытов (таблица 1) были вычислены коэффициенты уравнения регрессии, дисперсия коэффициентов регрессии (S_b²) и значение доверительного интервала b = ± t_c·S_b, где t_c -критерий Стъюдента при 95% доверительной вероятности.

С = 3,07 - 0,42·Р - 0,29·τ (35), b = ± 0,19 (36).

Вспомогательные таблицы для расчета:

Pi		Ci	Pi*Ci
+1		2,45	+2,45
-1	x	3,10	-3,10
+1		2,84	+2,84
-1		3,88	-3,88

i		Ci	i*Ci
+1		2,45	+2,45
+1	x	3,10	+3,10
-1		2,84	-2,84
-1		3,88	-3,88

C	=	P C = - 0,42
p			å i	i
		i=1

(37),

C	=	å	t		C = -0, 29
	i
t				i
		i=1

(38),

C0 =	åC
	i
	i=1

после учета (37), (38)

= 3,07	(39),	C = C0 + CpP + C	, или
и (39) получим уравнение регрессии (35)	:
	C=3,07-0,42P-0,29.

Дата добавления: 2015-11-28