Геометрический смысл производной. Тема №8. Производная функции

Тема №8. Производная функции

Цель лекции: Познакомить студентов с базовым понятием дифференциального исчисления производной функции одной переменной, ее интерпретаций в геометрии, физике, экономике, основными правилами дифференцирования.

Перечень вопросов, выносимых для рассмотрения:

1. Приращение аргумента и функции.

2. Определение производной.

3. Геометрический, физический, экономический смысл производной.

4. Производные элементарных функций и основные правила дифференцирования.

5. Производные сложной и обратной функции.

Понятие производной функции

Пусть функция у = f (х) определена на отрезке [ a; b ]. Пусть x = x ₀– некоторая начальная фиксированная точка этого отрезка, а х – произвольная переменная точка, принадлежащая отрезку [ a; b ].

Тогда при переходе из точки x ₀ в точку х значение аргумента изменяется на величину

Δ x = x – x ₀.

Эта величина называется приращением аргумента x в точке x ₀.

При этом значение функции изменяется на величину

Δ у = f (х) – f (х ₀),

называемую приращением функции в точке х ₀ (рис.1).

Рис.1 Приращения аргумента и функции

Т.к. из равенства Δ x = x – x ₀ получаем, что x = x ₀ + Δ x, то приращение функции можно записать в виде

Δ у = f (x ₀ +Δ x) – f (х ₀).

Определение. Производной функции у = f (х) в точке х ₀ называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при Δ x → 0 (если этот предел существует):

Производная функции имеет несколько обозначений: , , , .

Если функция у = f (х) в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (экономисты применяют также обозначение Mf (x) для производной и термин «маржинальное значение функции f в точке x»).

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием функции.

Геометрический смысл производной

Рассмотрим кривую у = f (х) и возьмем на ней точку M ₀(х ₀; y ₀), где у ₀ = f (х ₀). Проведем в точке M ₀ касательную M ₀ N к кривой.

Теорема 1. Производная функции у = f (х) в точке х ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у = f (х) в точке M ₀(х ₀; f (х ₀)), т.е.

В этом состоит геометрический смысл производной функции.

Рис.2 Геометрический смысл производной функции

Поскольку уравнение прямой, проходящей через точку М ₀(x ₀; y ₀) и имеющей заданный угловой коэффициент k, имеет вид y – у ₀= k (х – х ₀), то подставив в это уравнение у ₀ = f (х ₀), k = f ‘ (х ₀), то получим уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке х ₀:

Из геометрического смысла производной вытекает ряд важных положений:

1. Производная угол α наклона касательной к оси острый функция у = f (х) в точке х ₀ возрастает (см. рис.3).

2. Производная угол α наклона касательной к оси тупой функция у = f (х) в точке х ₀ убывает (см. рис.4).

Рис.3 Рис.4

3. Производная угол α наклона касательной к оси равен нулю касательная параллельна оси O x (см. рис.5).

Рис.5

---

Дата добавления: 2015-11-26