Читайте также: |
|
Практическая работа № 15.
Нахождение производных неявной функции, заданной параметрически. Логарифмическое дифференцирование
Цель работы. Проверить знания и умения учащихся в нахождении производных неявной функции, функции, заданной параметрически, в нахождении производных логарифмическим дифференцированием.
Теоретический материал.
Если функции задана уравнением, не разрешенным относительно
то для нахождения производной надо продифференцировать по обе части этого уравнения, учитывая, что есть функция по и затем разрешить полученное уравнение относительно Чтобы найти надо уравнение продифференцировать дважды по
Пример 1. Найти вторую производную от функции заданной неявно уравнением
Решение.
Дифференцируя по обе части данного равенства и считая при этом функцией по находим
Равенство (*) снова продифференцируем по
Пример 2. Найти значение в точке для функции
заданной неявно, если
Решение. ;
Подставим
Пример 3. Найти производную функции если
Решение.
;
Пример 4. Найти производную функции если
Решение.
Пример 5. Найти производную функции если
Решение.
;
;
Пример 6. Найти если
Решение.
; ;
Продифференцируем обе части равенства , получим
Логарифмическая производная функции f(x)>0 есть производная от логарифма данной функции ln f(x):
Вычисление логарифмической производной называется логарифмическим дифференцированием. Логарифмическое дифференцирование применяется при вычислении производной степенно-показательной функции, т.е. функции вида:
А также при нахождении производной произведения нескольких функций или производной дроби.
Пример 1. Найти производную функции
Решение.
;
;
Пример 2. Найти производную функции
Решение:
;
Дифференцируем обе части
Пример 3. Найти производную функции
Решение:
;
Дифференцируем обе части
;
;
Если функция y=y(x) задана уравнением, не разрешенным относительно y, то для нахождения производной y¢ надо продифференцировать по х обе части этого уравнения, помня, что y есть функция от х, и затем разрешить полученное уравнение относительно y¢. Чтобы найти y¢¢, надо уравнение продифференцировать дважды по х и т.д.
Пример 1: Дана функция
Найти
Решение.
Пример 2: Найти производную , если функция задана параметрически:
Решение:
Используем правило .
Задания
1. Продифференцировать функции, используя метод логарифмического дифференцирования.
2. Продифференцировать функции, используя метод логарифмического дифференцирования.
3. Найти производную неявной функции
Найти у' и у".
3.1. у2 = 8xy+2x. 3.2. tg уx = 2х + 3у.
3.3. у = х + arctg у. 3.4. 6х - sin у = 4у
3.5. у2 +y= 25х - 4. 3.6. arcctg y = 4x + 5y.
3.7. у2 - х = cos у. 3.8. 3х + sin у = 5у.
3.9. tg у = Зх + 5у. 3.10. ху = ctg у.
3.11. у = еy + 4х. 3.12. ln у - у/х = 7.
3.13. y2 + x2 = sin y. 3.14. еy = 4х - 7у.
3.15. 4 sin2(x + y) = x. 3.16. sin y = 7x + 3y.
3.17. tg у = 4у - 5х. 3.18. у = 7х - ctg у.
3.19. ху - 6 = cos у. 3.20. 3у = 7 + ху3.
3.21. у2 = х + ln (у/х). 3.22. ху2 - у3 = 4х - 5.
3.23. х2у2 + х = 5у. 3.24. x4 + х2у2 + y = 4.
3.25. sin у = ху2 + 5. 3.26. х3 + у3 = 5х.
3.27 cos3(2х -у2) = 7. 3.28. у2 = (х-у)/(х + у).
3.29. sin2(Зх + у2) = 5. 3.30. ctg2(х + y) = 5х.
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 154 | Нарушение авторских прав