Бөлшек-рационал теңсіздіктер

немесе , (6) түріндегі теңсіздіктерді бөлшек-рационал теңсіздіктер деп атайды, мұндағы , -көпмүшелер, оның дәрежелері және ; -берілген сан. (6) теңсіздіктердің шешімі көпмүшелігінің түбірлерінен тұрмауы тиіс.

Келесі теоремалардың көмегімен бөлшек-рационал теңсіздік оған мәндес бүтін теңсіздікке түрленуі тиіс.

Теорема. теңсіздігі теңсіздігіне, ал теңсіздігі теңсіздігіне мәндес.

Бөлшек-рационал теңсіздікті келесі схемамен шешкен қолайлы:

1) теңсіздігінің оң жағын сол жағына шығарады:

2) алынған теңсіздіктің сол жағын ортақ бөлімге келтіріп, нәтижеде түріндегі теңсіздікті алады.

3) бөлшекті теңсіздікті бүтінмен ауыстырады, яғни оған мәндес мәндес теңсіздікпен ауыстырады.

4) алынған теңсіздіктің сол жағын егер мүмкін болса, жай көбейткіштерге жіктейді.

5) алынған теңсіздікті шешуге интервалдар әдісін қолданады.

Интервалдар әдісі мынада:

Егер теңсіздік түрінде өрнектелсе, мұндағы (7)

онда ұштары сандары болатын интервалдар қарастырылады, мұнда . (8)

Бұл сандардың көбейтіндісі нөлге тең, яғни көпмүшелігінің түбірлері не теңдеуінің түбірлері.

көпмүшелігінің аралықтардың әрқайсысындағы таңбасын зерттейді. Интервалдардың бірігуі (9)

теңсіздігінің шешімі болады.

(10)

теңсіздігі де осыған ұқсас шешіледі. Интервалдар әдісі немесе теңсіздіктерін шешуге қолданылады. Мұндағы (11)

Мұндағы –бүтін оң сандар, -реттелген нақты сандар. Бұл үшін екімүшенің келесі қасиеті қолданылады: нүктесі сан осін екі бөлікке бөледі, сонымен бірге:

1) егер –жұп болса, онда өрнегі –нің оң жағынан сол жағына өткенде оң таңбасы сақталады.

2) Егер –тақ сан болса, өрнегі нүктесінің оң жағында оң таңбалы, сол жағында теріс таңбалы.

Кез келген саны үшін болғанда бұлар сәйкес (11) көпмүшенің кез келген көбейткіші оң таңбалы, сондықтан көпмүшенің сандық мәні оң, яғни . Кез келген үшін әрбір көбейткіштің сәйкес мәні (ең соңынан басқасы) оң таңбалы, егер –жұп болса, соңғы көбейткіш оң, -тақ болса, соңғы көбейткіш теріс болады. Демек, егер –жұп болса, , егер –тақ болса, . Егер көпмүшелігінің аралығындағы таңбасы белгілі болса, онда аралығындағы –тің таңбасы келесі ереже бойынша анықталады:

көпмүшесі нүктесінен өткенде:

а) егер –жұп сан болса, аралығында таңбасын өзгертпейді

( -тің таңбасындай);

б) егер –тақ сан болса, аралығында өзінің таңбасын қарама-қарсы таңбаға өзгертеді.

Сонымен интервалдар әдісін қолдану келесі реттілікпен іске асады:

1) көпмүшелігінің түбірлерін табады;

2) түбірлерді өсу реті бойынша орналастырады ();

3) сан осіне сандарын белгілейді;

4) көпмүшенің үлкен түбірінің оң жағына “плюс” таңбасын қояды;

5) оңнан солға қарай жылжып, әрбір түбірден өткенде егер –тақ сан болса, таңбасы ауысады, егер жұп сан болса, таңбасы сақталады.

Сонымен, интервалдар әдісінде көпмүшенің 1) реттелген барлық әртүрлі түбірлерін табады; 2) әрбір аралықтағы -нің таңбасын анықтайды. Мұндағы және

1-мысал. теңсіздікті шешу керек.

Шешуі: Бұл бөлшек-рационал теңсіздік, ол -тен басқа барлық мәнінде анықталады. Берілген өрнекті түрлендірсек,

.

теңдеуінің түбірлері , онда Сонымен, берілген теңсіздік нүктелері арқылы сан осі төрт аралыққа бөлінеді:

көпмүшесінің көрсетілген аралықтарындағы таңбасын зерттейміз. Бұл көпмүшенің (11)-дің дербес жағдайы. сандарының бәрі бірге тең-тақ сандар.

да , ал да , да , да (көпмүшенің түбірлерінен өткенде таңба ауысады). Сонымен, теңсіздіктің шешімі және

2-мысал. теңсіздікті шешу керек.

Шешуі: Берілген теңсіздікті бүтін теңсіздікпен ауыстырамыз. Мұны көбейткіштерге жіктейміз: көпмүшесінің түбірлері бар. -көпмүшесінің аралықтардағы таңбасын зерттейміз, ол 1-суретте көрсетілген.

3 4 5 6 х (1-сурет)

- теңсіздіктің шешімі болады.

3-мысал. теңсіздікті шешу керек.

Шешуі: Берілген теңсіздікті түрлендірсек, көпмүшелігін қарастырамыз, оның түбірлері Түбірлердің осы мәндерін сан осіне белгілеп, аралықтарындағы көпмүшенің таңбасын зерттейміз. аралығында оңнан солға қарай жылжығанда -нің таңбасы кезекпен ауысады, яғни таңбасы “+” болатын аралыққа көрші аралықтың таңбасы “теріс” болады. Барлық 1 саны тақ (2-сурет).

-2 -1 2 3 4 х (2-сурет)

Теңсіздіктің шешімі –ғы

-тің барлық мәні.

4-мысал. теңсіздікті шешу керек.

Шешуі: Бұл теңсіздікті көпмүшесін қарастырайық. Бұл (11) көпмүшеге ұқсайды. –жұп сан, онда нүкте арқылы өткенде көпмүшенің таңбасы өзгермейді. ( нүктесінен бастап сол жаққа қарай жылжығанда). Басқа барлық жағдайларда ( -тақ сандар) көпмүше таңбасы қарама-қарсы таңбаға аралықтарындағы сәйкес таңбалары көрсетілген.

-7 -10/3 2,5 6 х (3-сурет)

3-суреттен -тің қабылдайтын мәніне берілген теңсіздіктің шешімдер жиыны үш аралықтың бірігуі екені байқалады, яғни

5-мысал. теңсіздікті шешу керек.

Шешуі: Теңсіздік –те анықталмайды. деп теңсіздікті бүтін теңсіздікке түрлендіреміз. , өйткені

-тің кез келген мәнінде не көпмүшесін қарастырайық, мұның түбірлері Осы түбірлерді сан осіне белгілесек, ол аралығын сияқты алты аралыққа бөледі. Айнымалы -тің әр аралықтағы сәйкес мәніне -тің сан мәнін табуға болады. –да екенін ескеріп, болғанда аралығындағы -тің мәнін есептесек, ол оң таңбалы. Өйткені, яғни Демек, аралығының таңбасы оң. Дәл осылайша ойлап, әр аралықтағы таңбаларды анықтаймыз. Ол 4-суретте көрсетілген. Теңсіздіктің шешімі болатын -тің қабылдайтын мәндері

Дата добавления: 2015-11-26