Вычисление приближенного значения функции с помощью дифференциалов.

1) Найти с помощью дифференциала приближенное значение числового выражения tg48°.

Для вычисления приближенного значения используем формулу:

.

Возьмем в качестве х ₀=45°=p/4.

2) Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛОВ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ, ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ

Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a; b) функция f была неубывающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие для любого

Аналогичным образом определяется необходимое и достаточное условие невозрастания функции f:

Экстремумы

В точке x₀ функция достигает экстремума, если для любых x из некоторой окрестности точки x₀ выполняется неравенство f (x) ≤ f (x₀) (минимум) или f (x) ≥ f (x₀) (максимум).

Теорема Ферма. Если функция f (x) дифференцируема в точке x₀ и достигает в ней экстремума, то

Необходимое условие экстремума. Во всех точках экстремума производная функции не существует или равна нулю.

Обратное, вообще говоря, неверно. Так, точка x = 0 функции y = x³ не является ни максимумом, ни минимумом.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками. Таким образом, все экстремумы являются критическими точками.

Достаточные условия экстремума. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой этой точки, и непрерывна в точке x₀. Если производная функции меняет знак с минуса на плюс при переходе через эту точку слева направо, то x₀ – точка минимума. Если производная функции меняет знак с плюса на минус при переходе через эту точку слева направо, то x₀ – точка максимума.

Утверждение. Пусть – стационарная точка функции f (x), и существует Если то – точка минимума; если то – точка максимума функции f (x).

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

1. Найти область определения функции f(x).

2. Найти первую производную функции f '(x).

3. Определить критические точки, для этого:

a. найти действительные корни уравнения f '(x) =0;

b. найти все значения x при которых производная f '(x) не существует.

4. Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.

5. Вычислить значение функции в точках экстремума.

Примеры. Исследовать функции на минимум и максимум.

1. . Область определения функции D(y)=R.

Найдем производную заданной функции

Определим критические точки . Производная не существует при х ₂= 0. Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и определим знак производной на каждом из полученных промежутков.

2.

Критическая точка функции x =3. Точка x = –1 не входит в область определения функции.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛОВ ВЫПУКЛОСТИ И ВОГНУТОСТИ ФУНКЦИИ, ТОЧЕК ПЕРЕГИБА ФУНКЦИИ

Определение. График функции y = f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

Определение. График функции y = f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Теорема. Пусть y = f(x) дважды дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f ''(x) > 0 – вогнутый.

Так, вторая производная функции равна откуда следует, что квадратичная функция выпукла вниз на всей области определения.

Определение. Пусть функция f (x) непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда точка называется точкой перегиба функции f, если в этой точке изменяется направление ее выпуклости.

Необходимое условие наличия точки перегиба. Если – точка перегиба функции f (x), и функция f (x) имеет вторую производную, непрерывную в этой точке, то

Достаточные условия наличия точки перегиба. Пусть функция f (x) непрерывна и имеет конечную или бесконечную производную в точке Если меняет знак при переходе через точку то – точка перегиба функции f (x).

Примеры. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости кривых.

1. 

Найдем производные заданной функции до второго порядка.

.

. Вторая производная не существует при x = 1. Исследуем эту точку на возможный перегиб.

Итак, точка перегиба x = 1. Функция выпукла на (1; +∞), вогнута на (–∞; 1).

Возможные точки перегиба найдем, решив уравнение 2 x² – 1 = 0. Отсюда .

Точки перегиба .

Функция выпукла на и вогнута на .

4. Определение асимптот графика функции.

При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.

Если обозначим через d расстояние от точки M кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность.

Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.

Дата добавления: 2015-11-26