Геометрический смысл производной

Опр.произв.Геом. и мех.смысл.

Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x ₀. Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x ₀, и ее производная определяется формулой Для производной используются обозначения: Для нахождения производной функции f(x) в точке x ₀ на основе определения следует выполнить следующие действия:

• Записать отношение ;
• Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на Δ x;
• Найти производную , вычисляя предел дроби. Если данный
• предел существует, то говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x = x ₀.

Пример 1

Используя определение, найти производную функции . Решение. По определению производной

Средней скоростью изменения функции при переходе независимой переменной от значения к значению называется отношение приращения функции к приращению независимой переменной, то есть

Истинной или мгновенной скоростью изменения функции при заданном значении независимой переменной называется предел, к которому стремится средняя скорость изменения функции при стремлению к нулю приращения аргумента :

Механический смысл производной

(Механический смысл производной)

Пусть задан путь движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени :

Задание. Тело движется прямолинейно по закону (м). Определить скорость его движения в момент с.

Решение. Искомая скорость - это производная от пути, то есть

В заданный момент времени

(м/с).

Ответ. (м/с).

Геометрический смысл производной

Производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой :

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

Задание. На рисунке №1 изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найти значение .

Решение. Из геометрического смысла производной получаем, что

Найдем угол . Рассмотрим треугольник - прямоугольный, равнобедренный. Тогда , а значит

А отсюда следует, что

Ответ.

23.У р-е касс. И норм. К крив.

Уравнения касательной и нормали к плоской кривой
Пусть дана функция y=f(x). К графику этой функции (рис.5) проведена касательная в точке М₀(х ₀; у ₀). Угловой коэффициент касательной в точке М₀ равен значению производной функции f(x) в точке х ₀, то есть k=tgj=f′(x ₀ ).
Уравнение касательной, проходящей
через точку М₀(х ₀; у ₀), имеет вид:
у-у ₀= f′(x ₀ )(х-х ₀ ).
Прямая, перпендикулярная к
касательной и проходящая через
точку М₀, называется нормалью.
Уравнение нормали в точке М₀(х ₀; у ₀):
у-у ₀= (х-х ₀ ).

24. Прав.диф:произв.сум.,произв,частн.

Правила дифференцирования позволяют находить производные суммы (разности), произведения и частного двух функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

Замечание 1. Свойство 2 выполняется для алгебраической суммы любого количества функций.

Замечание 2. Из свойства (3) легко вывести формулу для производной от произведения нескольких функций. Например,

Аналогичный вид имеет формула для произведения любого числа множителей.

Пример 2.1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций: а) ;

б) .

Решение.

а) Используя таблицу производных, первое и второе свойства получим: ;

б) Вводя дробные и отрицательные показатели, преобразуем данную функцию:

.

Тогда, используя производную степенной функции, свойства 1 и 2 будем иметь:

Дата добавления: 2015-11-26