Механический смысл производной

Теорема Пусть задан путь движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени есть производная от пути по времени :

Задание. Тело движется прямолинейно по закону (м). Определить скорость его движения в момент с.

Решение. Искомая скорость - это производная от пути, то есть

В заданный момент времени

(м/с).

Ответ. (м/с).

Геометрический смысл производной

Производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой :

Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке .

Задание. На рисунке №1 изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найти значение .

Решение. Из геометрического смысла производной получаем, что

Найдем угол . Рассмотрим треугольник - прямоугольный, равнобедренный. Тогда , а значит

А отсюда следует, что

Ответ.

Геометрическое применение производной: уравнения касательной и нормали, угол между кривыми

Касательная прямая - прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.

Если кривая определена уравнением , то уравнение касательной к ней в точке имеет вид:

а уравнение нормали:

Задание. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

Решение. Находим значение функции в заданной точке:

Далее вычислим значение производной функции в точке :

а тогда уравнение касательной запишется в виде:

или после упрощения:

уравнение нормали:

Ответ. Уравнение касательной:

Уравнение нормали:

Дата добавления: 2015-11-26