Геометрический и механический смысл производной

Производная функции и основные методы дифференцирования

Производная функции в точке является основным понятием дифференциального исчисления. Она характеризует скорость изменения функции в указанной точке. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости различного рода процессов.

Производная равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что последний стремится к нулю:

Функция, которая имеет конечную производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в данной точке. Процесс вычисления производной называется дифференцированием функции.

Дифференциал функции

Пусть функция дифференцируема в точке , то есть приращение этой функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно и нелинейного членов:

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:

Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.

Геометрический и механический смысл производной

С вычислением производной мы сталкиваемся всякий раз, когда требуется определить скорость изменения одной величины - функции в зависимости от изменения другой величины - независимой переменной.

Средней скоростью изменения функции при переходе независимой переменной от значения к значению называется отношение приращения функции к приращению независимой переменной, то есть

Истинной или мгновенной скоростью изменения функции при заданном значении независимой переменной называется предел, к которому стремится средняя скорость изменения функции при стремлению к нулю приращения аргумента :

Дата добавления: 2015-11-26