Уравнение плоскости в отрезках.-

Рассмотрим общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0. Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на (– D).

Рис. 58

Обозначив , получим уравнение плоскости “в отрезках”

, (3.23)

где a, b, c – это отрезки, которые отсекает плоскость от координатных осей (рис. 58).

24. Угол между двумя плоскостями.-

Где первая плоскость α задается: А₁х +В₁у + С₁z + Д₁=0, нормальный вектор к плоскостиN₁=(А₁, В₁, С₁)

Вторая плоскость β задается: А₂х +В₂у + С₂z + Д₂=0, нормальный вектор к плоскости N₂=(А₂, В₂, С₂)

Если плоскости параллельны, то

Если плоскости перпендикулярны, то А₁ А₂+ В₁ В₂ + С₁ С₂=0.

25. Точка разрыва -
Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

• Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;
• Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

• Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

• Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

27. Определение производной.-

28. Геометрический смысл производной.- Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀:

29. Физический смысл производной.- Физический смысл производной заключается в том, что она численно равна скорости изменения функции при изменении её аргумента. .

30. Уравнение касательной к графику функции.- Пусть функция задается уравнением y = f (x), нужно написать уравнение касательной в точке x 0. Из определения производной:
y /(x)=limΔ x →0Δ x Δ y

Δ y = f (x +Δ x)− f (x).

Уравнение касательной к графику функции: y = kx + b (k, b = const). Из геометрического смысла производной: f /(x 0)= tg α= k

Т.к. x 0 и f (x 0)∈ прямой, то уравнение касательной записывается в виде: y − f (x 0)= f /(x 0)(x − x 0), или
y = f /(x 0)· x + f (x 0)− f /(x 0)· x 0.

31. Уравнение нормали к графику функции.- Нормаль -- это перпендикуляр к касательной (см. рисунок). Исходя из этого:

tg β= tg (2π−α)= ctg α=1 tg α=1 f /(x 0)

Т.к. угол наклона нормали -- это угол β1, то имеем:

tg β1= tg (π−β)=− tg β=−1 f /(x).

Точка (x 0, f (x 0))∈ нормали, уравнение примет вид:

y − f (x 0)=−1 f /(x 0)(x − x 0).

32. Таблица производных.-

33. Дифференциал функции.- Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства: где α – бесконечно малая в окрестности функция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x ₀ + Δ x эту бесконечно малую функцию можно отбросить:

Линейную функцию называют дифференциалом функции f в точке и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке равна 1, то есть Поэтому пишут:

Приближенное значение функции вблизи точки равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом:

Дата добавления: 2015-11-26