Теоретический материал к разделу

Читайте также:

2.1.1 Числовые последовательности, функции. Пределы.

1.Символика математической логики

Пусть и – некоторые утверждения, и – множества, – элемент множества.

Тогда следующие записи означают:

- принадлежит множеству ;

- множество является подмножеством ;

(следует): - из утверждения следует ;

(эквивалентность): - из следует и из .

(квантор всеобщности): - для всякого имеет место утверждение или

(отрицание): - отрицание .

(квантор существования): - существует элемент из , для которого верно утверждение .

2. Если поставлено в соответствие величина , то говорят, что задана последовательность .

Пример: :

3. Число называется пределом последовательности , если такой, что , обозначается и говорят, что стремится (сходится) к .

4. Число называется пределом функции в точке (при ), если такое, что

5. Свойства пределов

1) Пусть и в некоторой окрестности т.

а) . Тогда .

б) . Тогда .

2)Предел постоянной равен самой постоянной.

3)Если существуют конечные пределы и , то:

а) ,

б)

б¢) если , то ,

в) , если .

З а м е ч а н и е. Очевидно, что приведенные свойства для функции, верны и для последовательностей, как верно и обратное.

6. Функция называется бесконечно малой (большой) при , если .

Пусть и - бесконечно малые при , и существует предел

Тогда, если

а) - конечное, то и - бесконечно малые одного порядка, если

, то и - эквивалентные .

З а м е ч а н и е. В процессе нахождения предела, любую величину можно заменить эквивалентной ей величиной.

б) При - бесконечно малая более высокого порядка, чем . Этот факт записывается в виде .

в) При - бесконечно малая более высокого порядка, чем .

Аналогичная классификация верна и для бесконечно больших величин.

7. Основные виды неопределенностей:

8.Первым замечательным пределом при неопределенности и называется предел, вида:

9. Вторым замечательным пределом с неопределенностью называется предел, вида:

10. Функция называется непрерывной в т. , если

а) определена в т. ,

б) существует предел ,

в) .

11. Если нарушено хотя бы из условий а), б), в), то называют точкой разрыва функции .

Точка называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные , причем .

Если у функции не существует правого или левого предела, или же эти пределы бесконечны, то говорят, что она имеет разрыв второго рода в этой точке.

Если функция имеет предел в точке , но он не совпадает со значением функции в этой точке или функция не определена в этой точке, то разрыв называется устранимый.

2.1.2 Дифференциальное исчисление функции одной переменной

12. Если существует , то его называют производной функции в т. , или говорят, что дифференцируема в т. , и обозначают: т.е. .

13. Если существует предел , то производная от пути по времени есть скорость движения т. в момент времени .

14. - дифференцируемая в т. функция, имеет в этой точке касательную с угловым коэффициентом .

15. Таблица производных

Пусть - функции от , а - константы. Тогда

16. Главная часть приращения функции , линейная относительно Δx, называется дифференциалом функции и обозначается .

17. Производной от функции -го порядка называется производная от производной -го порядка, т.е. .

18. Дифференциалом -го порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка, причем .

19. Формула Лейбница:

20. Пусть и две бесконечно малые или бесконечно большие при функции, дифференцируемые в и пусть и в . Тогда, если существует , то существует и они равны: = .

Аналогичные утверждения справедливы для , , , , .

21. Если функция имеет в окрестности точки a непрерывную производную , то для любой точки x из окрестности точки a найдется тоска такая, что можно записать в виде:

Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Если a=0, то формулу называют формулой Маклорена.

22. Уравнение касательной имеет вид .

23. Уравнение нормали имеет вид .

2.1.3 Возрастание и убывание функции. Экстремумы

Теорема 1. Пусть . Тогда если

а) возрастает (убывает) на (a;b), то на, (a;b)

б) на (a;b), то возрастает (убывает) на (a;b).

Геометрически это означает, что при возрастании функции угол между касательной к кривой и осью меньше , а при убывании больше (рис.1).

Рисунок 1

Теорема 2. (достаточные условия существования экстремума).

Пусть х₁ – критическая точка , а - интервал, содержащий точку х₁. Тогда, если

а) непрерывна в и дифференцируема в , кроме, может быть, т. х₁, то она имеет в т. х₁max[min], если при переходе слева направо через х₁, меняет знак с + на - [с – на +],

б) и в то в т. х₁ имеет max[min], если .

З а м е ч а н и е 1. Пусть . Тогда наибольшее и наименьшее значения на [a,b] достигаются либо в критических точках, либо на концах отрезка (рис.2).

Рисунок 2

2.1.4 Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Определение 1. Кривая называется выпуклой (вогнутой), если все точки этой кривой лежат ниже (выше) ее касательных (рис.3).

Рисунок 3

На рисунке 3 участок (а,с) – участок выпуклости кривой , – участок вогнутости. Т. , отделяющая выпуклость от вогнутости, и наоборот, называется точкой перегиба.

Теорема 3. Пусть на существует , причем . Тогда кривая на выпукла (вогнута).

Теорема 4. Пусть в окрестности т. , кроме, может быть, самой точки , существует . Тогда, если или не существует и при переходе через т. меняет знак, то - точка перегиба.

2.1.5 Асимптоты кривой. Общий план исследования.

Определение 3. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от текущей точки М кривой до прямой, при удалении т.М по кривой в бесконечность, стремится к нулю.