Матрицы коэффициентов системы.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Совместные и несовместные системы.

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:

где a, b, c, d, e, f – заданные числа; x, y – неизвестные. Числа a, b, d, e – коэффициенты при неизвестных; c, f – свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными методами.

Метод подстановки.

1) Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например x, через коэффициенты и другое неизвестное y:

x = (c – by) / a. (2)

2) Подставляем во второе уравнение вместо x:

d (c – by) / a + ey = f.

3) Решая последнее уравнение, находим y:

y = (af – cd) / (ae – bd).

4) Подставляем это значение вместо y в выражение (2):

x = (ce – bf) / (ae – bd).

Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.

1) Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на (– d), а обе части 2-го уравнения на а и складываем их:

Отсюда получаем: y = (af – cd) / (ae – bd).

2) Подставляем найденное для y значение в любое уравнение системы (1):

ax + b(af – cd) / (ae – bd) = c.

3) Находим другое неизвестное: x = (ce – bf) / (ae – bd).

Совместные и несовместные системы.

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA^*.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x₁ + x₂ + … + x_n

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А^* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.

А = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Система совместна. Решения: x₁ = 1; x₂ =1/2.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

A =

~ . RgA = 2.

A* = RgA* = 3.

Система несовместна.

Матрицы коэффициентов системы. Определитель 2-ого порядка.

Матрицы коэффициентов системы.

Систему из m уравнений с n неизвестными

можно представить в матричном виде

и тогда всю систему можно записать так:

AX = B,

где A имеет смысл таблицы коэффициентов a_ij системы уравнений.

Если m = n и матрица A невырожденная, то решение этого уравнения состоит в нахождении обратной матрицы A ^{− 1}, поскольку умножив обе части уравнения на эту матрицу слева

A ^{− 1} AX = A ^{− 1} B

A ^{− 1} A — превращается в E (единичную матрицу). И это даёт возможность получить столбец корней уравнений

X = A ^{− 1} B.

Все правила, по которым проводятся операции над матрицами, выводятся из операций над системами уравнений.

Дата добавления: 2015-11-26