Читайте также:
|
Рассмотрим свойства углов параллельности. Первое, изменяя угол параллельности, меняется длина перпендикуляра 
(рис.27).
Пусть 
(рис.28).
Поскольку 
, то 
. С другой стороны, 
. Отсюда выходит, что 
. Таким образом, с возрастанием угол параллельности уменьшается.
Можно показать, что значение угла параллельности 
при данном значении не зависит от выбора прямой 
и точки 
на ней, то есть для данного значении угол параллельности имеет определенное одно и тоже значение, какую бы ни взяли прямую и где бы ни взяли на ней точку.
Действительно, пусть 
- две произвольные прямые, 
- произвольные точки этих прямых (рис. 29).
Восстановим в этих точках перпендикулярах к данным прямым и отложим на них отрезки 
Через точки 
проведем прямые 
Пусть 
- соответственно углы параллельности. Допустим, что 
, например, 
. Тогда, откладывая угол 
, получим луч 
, проходящий в середине угла 
и пересекает 
в точке 
.
Отложим на прямой 
. Тогда 
по двум катетам, отсюда выходит, что луч 
совпадает с 
, что не возможно, поскольку пересекает , а 
не пересекает. И так, неравенство невозможно. Аналогично, доказывается невозможность неравенства 
. Итак, 
, что и требовалось доказать.
Таким образом, мы приходим к выводу, что каждому значению 
соответствует вполне определенное значение угла параллельности 
, такое, что есть функция с областью определения 
. Эта функция обозначается 
и называется функцией Лобачевского.
Н.И. Лобачевский нашел аналитическую формулу для функции 
:
, где 
- некоторая положительная постоянная. Анализируя эту формулу, получаем
Это означает, что при 
достаточно малом угол параллельности 
. Поэтому при достаточно малых пространство Лобачевского как угодно мало отличается от пространства Евклида, и, евклидову геометрию можно рассматривать как предельный случай геометрии Лобачевского, если 
, то есть при малых размерах.
Есть еще один случай, когда пространство Лобачевского переходит евклидово. Рассмотрим постоянную в формуле Лобачевского. Эта постоянная может принимать значения от 0 до 
, и для каждого будет существовать свое пространство Лобачевского. Эти пространства будут отличаться одно от другого степенью отклонения от евклидового пространства. Действительно, 
Поэтому чем больше , тем меньше пространство Лобачевского будет отличаться от евклидового. Выясняется, что постоянная - это радиус кривизны пространства Лобачевского. Итак, пространство Лобачевского будет тем ближе к евклидову, чем большего радиус кривизны, то есть чем меньше его кривизна.
Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 115 | Нарушение авторских прав