Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Свойства определителей

Читайте также:
  1. Lt;…> Основные свойства и характеристики ощущений
  2. АнгиОмега Комплекс. Основные свойства
  3. Антигензависимые свойства.
  4. Антиоксидантным и омолаживающим свойствам
  5. Антиоксидантным, омолаживающим свойствам
  6. Ассоциативность бренда -способность товарного знака вызывать в сознании потребителя представление о маркируемом товаре, о его свойствах или о его географическом происхождении.
  7. Билет 11. Понятие о воле. Волевые свойства личности. Структура волевого действия.

1. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, т.е. = .

Данное свойство устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк, и для столбцов, а доказывать только для строк.

 

2. Умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) определителя на любое число λ равносильно умножению определителя на это число λ.

Пусть исходный определитель равен Δ. Для определённости его первую строку умножим на число λ, получим новый определитель , который разложим по элементам первой строки:

Таким образом, = λ· Δ, что и требовалось доказать.

 

Из данного свойства следует, что множитель, общий для элементов какой-либо строки (столбца), можно выносить за знак определителя.

 

3. Определитель равен нулю, если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю.

Это свойство вытекает из предыдущего свойства при λ = 0.

 

4. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

Пусть в определителе Δ переставлены две соседние строки с номерами i и i + 1. Разложим исходный определитель Δ по элементам i –й строки, а новый определитель (с переставленными строками) - по элементам (i + 1)–й строки. Разложения будут отличаться только знаком, т. к. в формуле (5) для определителя каждое алгеб-

раическое дополнение будет иметь противоположный знак (множители (-1) i+j сменятся на множители (-1) i+1+ j), поэтому = - Δ.

Если переставлять не соседние строки, а, например, i –ю и (i + k)-ю, то такую перестановку можно представить как последовательное перемещение i –й строки на k строк вниз (при этом каждый раз знак определителя меняется), а (i + k)-й строки на (k – 1) строк вверх, что также сопровождается (k – 1) изменением знака, т.е. знак поменяется нечетное число (2 k – 1) раз: = - Δ.

5. Если в определителе две строки (столбца) одинаковы, то этот определитель равен нулю.

Пусть в определителе Δ переставлены две произвольные строки. С одной стороны, определитель не изменится, а, с другой стороны, по свойству 4 поменяет знак: = - Δ. Δ = 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

Пусть в определителе Δ пропорциональны две произвольные строки. Тогда, вынося коэффициент пропорциональности λ, получаем по свойству 2: = λ· Δ, где Δ имеет две одинаковые строки и по свойству 5 равен 0.

7. Если каждый элемент iй строки (iго столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в iй строке (iм столбце) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трёх определителей одни и те же. Например,

Для доказательства этого свойства достаточно вычислить каждый из определителей (например, по определению) и убедиться в равенстве полученных выражений.

8. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любой общий множитель λ, то величина определителя не изменится.

Действительно, полученный в результате такого прибавления определитель по свойству 7 можно разбить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй имеет две пропорциональные строки и, следовательно, равен нулю (по свойству 6). Например,

9. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

По правилу разложения определителя (6):

.

 

Перечисленные свойства определителей позволяют значительно упростить их вычисления, особенно для определителей высоких порядков (n ≥ 4). При вычислении определителя целесообразно его либо привести к треугольному виду и воспользоваться свойством 9, либо так преобразовать с помощью свойств 1 – 8, чтобы полученный определитель имел строку (столбец), содержащую как можно больше нулей, а затем разложить его по этой строке (столбцу).

Пример. Вычислите определитель 4-го порядка:

.

Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в 3-м столбце все элементы, кроме одного, обращались в 0. Для этого вычтем из элементов первой строки элементы четвёртой строки, получим:

= =

(затем к элементам четвертой строки прибавим элементы третей строки)

= .

Далее, используя разложение по 3-му столбцу, получим:

=

 

Контрольные вопросы:

1. Что называется определителем второго порядка?

2. Что называется определителем третьего порядка?

3. Продолжите: «Если в определителе поменять местами строки со столбцами, то …»

4. Продолжите: «Определитель, у которого каждый элемент j-ого столбца равен сумме двух слагаемых, равен …»

5. Продолжите: «Если в определителе две строки одинаковы, то …»

6. Продолжите: «Если в определителе две строки пропорциональны, то …»

7. Продолжите: «Если в определителе поменять местами два столбца, то …»

8. Продолжите: «Если в определителе все элементы строки равны 0, то …»

9. Продолжите: «Если в определителе два столбца пропорциональны, то …»

10. Продолжите: «Если в определителе два столбца одинаковы, то …»

11. Продолжите: «Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число, то …»

12. Продолжите: «Если все элементы какой – либо строки определителя умножить на некоторое число, то …»

13. Продолжите: «Если в определителе все элементы столбца равны 0, то …»

14. Продолжите: «Определитель треугольной матрицы равен …»

15. Продолжите: «Если все элементы какого – либо столбца определителя умножить на некоторое число, то …»

16. Продолжите: «Если к элементам некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на любое число, то …»

17. Продолжите: «Определитель, у которого каждый элемент i-ой строки равен сумме двух слагаемых, равен …»

18. Продолжите: «Если в определителе поменять местами две строки, то …»

19. По какому правилу вычисляется определитель третьего порядка?

20. По какому правилу вычисляется определитель второго порядка?

21. Что называется минором элемента матрицы А?

22. Что называется алгебраическим дополнением элемента в ?

23. Сформулируйте теорему о разложении определителя по элементам стоки (столбца), которая (который) содержит только один ненулевой элемент

24. Сформулируйте теорему о разложении определителя по элементам стоки или столбца

25. Перечислите способы вычисления определителей

26. Верно ли утверждение: «Для прямоугольной матрицы А порядка можно найти обратную матрицу в том случае, если »

27. Верно ли утверждение: «Для квадратной матрицы А можно найти обратную матрицу только в том случае, если »

 

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

5. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

6. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

 


Дата добавления: 2015-11-26; просмотров: 95 | Нарушение авторских прав



mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)