Тема № 1.2. Определители

Методические указания к проведению лекционного занятия

План:

1. Определители 2-го порядка

2. Определители 3-го порядка

3. Определители n-го порядка

4. Свойства определителей

1. Определители 2-го порядка. Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка:

А = . (1)

Определителем (или детерминантом) 2-го порядка, соответствующим матрице (2), называется число а₁₁ а₂₂ - а₂₁ а₁₂ , оно обозначается:

det A = = D = = а₁₁ а₂₂ - а₂₁ а₁₂. (2)

Из определения видим, что для вычисления определителя 2-го порядка надо из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычесть произведения элементов, стоящих на побочной диагонали (правило «крест-накрест»).

Пример. = 2×(- 4) - 5×(- 3) = - 8 + 15 = 7.

2. Определители 3-го порядка. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу 3-го порядка:

А = . (3)

Определителем (или детерминантом) 3-го порядка, соответствующим матрице (4), называется число

а ₁₁ а ₂₂ а ₃₃+ а ₂₁ а ₃₂ а ₁₃ + а ₃₁ а ₁₂ а ₂₃- а ₃₁ а ₂₂ а ₁₃ - а ₁₁ а ₃₂ а ₂₃ - а ₂₁ а ₁₂ а ₃₃

и обозначается:

det A = = D = . (4)

При вычислении определителя 3-го порядка используют правило треугольников (или правило Саррюса): три положительных члена определителя - это произведения элементов главной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Три отрицательных члена определителя - это произведения элементов побочной диагонали и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали. Схематично изображают:

+

-

Пример. = 3×7×8 + 8×(- 1)×(- 5) + 4×(- 2)×2 - 2×7×(- 5)-

- 8×4×8 - 3×(- 1)×(- 2) = 0.

3. Определители n -го порядка. Прежде, чем сформулируем общее определение определителя, рассмотрим понятие перестановки.

Перестановки – это множества, состоящие из n элементов и отличающиеся между собой только порядком расположения элементов.

Рассмотрим n элементов, расположенных в некотором порядке, который зафиксируем. Для простоты выберем в качестве элементов числа 1, 2, …, n, расположенные в порядке возрастания. Если взять некоторую перестановку этих элементов, то найдутся числа, расположенные в обратном порядке. В таком случае говорят, что имеет место инверсия. Точнее: если в некоторой перестановке а ₁, …, а_i, …, а_j, …, а_n чисел 1, 2, …, n, выполняется неравенство а_i > а_j, то числа а_i и а_j составляют инверсию.

Под числом инверсий перестановки понимается количество пар элементов, составляющих инверсию.

Перестановка называется чётной, если её элементы составляют чётное число инверсий (или ноль), и нечётной – в противном случае.

Пример. Для множества К, содержащего три числа 1, 2 и 3, т.е. К = {1; 2; 3}, перестановками будут являться следующие множества:

К₁ = {1; 2; 3}; К₂ = {1; 3; 2}; К₃ = {2; 1; 3};

К₄ = {2; 3; 1}; К₅ = {3; 1; 2}; К₆ = {3; 2; 1}.

Из них чётными являются перестановки К₁(число инверсий - 0), К₄, К₅(число инверсий - 2); нечётными - К₂, К₃(число инверсий - 1), К₆(число инверсий - 3).

Рассмотрим квадратную матрицу А n -го порядка.

Определителем (или детерминантом) n-го порядка, соответствующим матрице А, называют алгебраическую сумму всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки матрицы А. Если в каждом таком произведении (члене определителя) множители расположены в порядке следования столбцов, то со знаком «+» берутся те произведения, у которых перестановка первых индексов чётная, а со знаком «-» - те, у которых перестановка первых индексов нечётная:

det A , (5)

где суммирование распространяется на всевозможные перестановки

i₁, i₂,..., i_n из n чисел: (1; 2; 3;...; n).

Так как число перестановок из n элементов равно n!, то опреде-

литель n -го порядка состоит из n! членов, причём половина из них входит в определитель со знаком «+» и столько же со знаком «-».

Минором М_ik элемента a_ik определителя n -го порядка называют определитель (n- 1)-го порядка, получаемый из данного определителя вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится элемент a_ik.

Алгебраическим дополнением A_ik элемента a_ik определителя называют минор М_ik этого элемента, умноженный на (-1) ^{i + k}:

A_ik = (-1) ^{i + k} М_ik.

При вычислении определителя n -го порядка используют его свойства и правило разложения определителя по элементам некоторой строки или столбца, которое формулируется следующим образом.

Разложение определителя n -го порядка по элементам i -й строки имеет вид

det A , (6)

где A_ik - алгебраическое дополнение, М_ik - минор элемента a_ik.

Пример. Вычислите определитель 4-го порядка:

.

Решение. Используя разложение по 3-му столбцу, получим:

= +

+ = - 404 - 334 -

- 258 = - 996.

Пример. 1)Вычислите определитель 3-го порядка:

.

2) Найдите минор элемента, стоящего на пересечении 3-й строки и 2-го столбца.

3) Найдите алгебраическое дополнение элемента, стоящего на пересечении 3-й строки и 2-го столбца.

4) Найдите алгебраическое дополнение элемента, стоящего на пересечении 2-й строки и 3-го столбца.

Решение. 1) Вычислим определитель, используя разложение по 2-му столбцу:

2) Найдём минор элемента а₃₂. Для этого вычеркнем в данном определителе третью строку и второй столбец, получим определитель второго порядка:

М ₃₂ =

3) Найдём алгебраическое дополнение элемента а₃₂:

A ₃₂ = (-1) ^{3 +2} ∙ М ₃₂= - М ₃₂= 3459.

4) Найдём алгебраическое дополнение элемента а₂₃:

A ₂₃ = (-1) ^{2 +3} ∙ М ₂₃= - М ₂₃= -

Дата добавления: 2015-11-26