Во-вторых, следует решать задачу различными методами и сравнивать получаемые решения.

1.6. Методы прогноза и коррекции. Следуя [1], рассмотрим здесь один из эффективных алгоритмов решения задачи Коши, относящийся к числу альтернативных методам Рунге-Кутта. Отличительной чертой методов Рунге-Кутта является то, что при вычислении следующей точки , используется информация только о точке , , но не о предыдущих. В методах второго порядка и выше приходится вычислять значение функции в одной или нескольких промежуточных точках. Это представляется нерациональным, поскольку, если процесс интегрирования уже продвинулся на несколько шагов, то у нас есть эти значения функции на предыдущих шагах. Чтобы начать решение уравнения, имея только одну точку, определяемую начальным условием, или для того, чтобы изменить шаг , необходим метод типа Рунге - Кутта. Поэтому здесь следует использовать разумное сочетание двух методов решения.

Наш метод называется методом прогноза и коррекции. Как ясно из названия, вначале «предсказывается» значение , а затем используется тот или иной метод для «корректировки» этого значения. Естественно, после этого можно использовать ту же самую формулу для вторичной корректировки однажды уже скорректированного значения . Этот итерационный процесс можно повто­рять сколько угодно раз, но оказывается, что из соображений эффективности целесообразно уменьшать число итераций, выбирая должным образом шаг инте­грирования.

Рассмотрим один из вариантов метода. Следуя [1], для прогноза мы используем формулу второго порядка

(1.14)

где верхний индекс (0) означает исходное приближение к , т.е. предсказанное значение. Непосредственно из написания формулы следует, что с ее помощью нельзя вычислить . Это и понятно, так как для вычисления потребовалась бы точка, расположенная передначальной точкой . Чтобы начать решение с помощью метода прогноза и коррекции, часто используется метод Рунге - Кутта.

Геометрически предсказание сводится к тому, что нахо­дится угол наклона касательной в точке , (прямая на Рис. 3). После этого через точку , проводится прямая , параллельная . Предсказанное значение будет расположено там, где прямая пересечется с ординатой .

Рис. 3. Геометрическое представление прогнозирующей формулы второго порядка, описанной в тексте.

Теперь требуется некоторый метод коррекции пред­сказанного значения. Так как нам приближенно известна величина , то можно вычислить наклон касательной в точке , . Эта касательная изображена на Рис. 4 и обозначена . Прямая на Рис. 4 пред­ставляет собой то же самое, что и на Рис. 3, и тангенс угла наклона ее равен . Мы усредняем тангенсы углов наклона линий и и получаем линию . Наконец, мы проводим через точку , линию ,параллельную и точка пересечения этой линии с ординатой дает новое приближение к значению . Назовем это приближение скорректированным значением .

Рис. 4 Геометрическое представление формулы коррекции второго

Вычислить это скорректированное значение можно по формуле

.

Можно найти новое приближение к , используя значение и корректируя снова. В общем случае, i -е приближение к вычисляется по формуле

(1.15)

для . Итерационный процесс прекращается, когда выполняется условие

(1.16)

для некоторого положительного .

Нетрудно показать (следуя [1]), что процесс (1.15), (1.16) сходится. Для этого необходимо потребовать, чтобы производная была ограничена, т.е. можно было найти такую константу , что

и выбрать величину шага из условия

(1.17)

Как выбирать [1]: если его выбрать слишком малым, то для определения каждой точки (т.е. для сходимости процесса (1.15), (1.16)), потребуется мало итераций, но количество точек будет велико; если его выбрать слишком большим, то количество итераций будет велико, зато количество точек будет малым. При программировании важно алгоритм делать оптимальным, т.е. стараться количество его операций минимизировать. В [1] отмечается, что «существуют веские эмпирические соображения, согласно которым оптимальное число итераций равно двум. Под оптимальностью здесь понимается минимальный объём вычислений при заданной точности». Это означает, что при оптимальном значении условие (1.16) удовлетворяется после двух шагов (1.15). Именно этот критерий выбора и нужно запрограммировать: подсчитывается число итераций процесса (1.15), (1.16); если их оказывается больше двух, то текущее значение требуется уменьшить (например, в два раза); если число итераций равно одной, то величину следует увеличить (например, в два раза). Если в результате такой проверки величина изменяется, то весь процесс прогноза-коррекции как бы начинается заново, а именно: полученные значения , следует использовать в качестве «начальных», с этого места применить формулу (1.6) и далее действовать по описанному алгоритму. Можно также показать следующее [1]: после того, как очередное приближение по формулам (1.14), (1.15) в соответствии с описанной процедурой будет найдено, более точное приближение можно найти по формуле

Выражение (1.18) и следует использовать в качестве окончательного значения неизвестной функции на шаге m.

· Запрограммируйте алгоритм прогноза-коррекции на C/C++ или в среде Maple с учётом сделанных замечаний и сравните результаты решения соответствующей задачи Коши с результатами её решения другими методами (сначала решите задачи Коши, рассмотренные выше в качестве примеров, а затем – в соответствии с индивидуальным заданием из Приложения 1).

Дата добавления: 2015-12-08