Читайте также:
|
Задачей Коши (или начальной задачей) для одного ОДУ первого порядка называется задача решения следующей системы равенств:
(1.1)
Здесь 
- заданная функция двух переменных. Второе из равенств (1.1) называется начальным условием.
1.1. Метод Эйлера. Пусть решение задачи (1.1) – функцию 
- требуется получить на отрезке 
(точка 
совпадает с левой границей отрезка – точкой 
). Разобьём отрезок на 
маленьких отрезков шириной 
узлами 
. Предположим, что решение задачи Коши известно в узле 
заданного отрезка. Аппроксимируем производную 
в этом узле при помощи одной из формул численного дифференцирования: 
; подставим это выражение в левую часть уравнения (1.1). Преобразуя, получим:
(1.2)
Здесь и далее через 
обозначаем значение функции 
в точке . Тогда (1.2) можно переписать в виде
(1.3)
Это и есть формула метода Эйлера. Формула (1.3) показывает, что значение неизвестной функции в точке 
отрезка интегрирования можно подсчитать по известному значению функции в предыдущей точке . Выясним геометрический смысл формулы (1.2). Как следует из ОДУ (1.1), геометрический смысл его правой части – это тангенс угла наклона касательной к кривой . Тогда вычисление по формуле (1.2) означает, что на плоскости 
мы проводим отрезок прямой из точки с координатами 
к точке с координатами 
. Двигаясь таким образом от узла к узлу на отрезке , мы построим ломаную линию, которая приближает гладкую кривую – решение . Понятно, что чем меньше расстояние 
между узлами, тем точнее эта ломаная приближает решение. В пределе при стремлении 
ломаная должна сливаться с кривой – точным решением задачи (1.1). Для того чтобы выяснить, насколько точным является это приближение, сравнивают формулу (1.3) с разложением в ряд Тейлора решения задачи (1.1) в окрестности точки . Нетрудно получить, что
(1.4)
т.е. формула метода Эйлера (1.2) совпадает с разложением в ряд Тейлора (1.4) вплоть до слагаемых, пропорциональных в первой степени при . В этом смысле говорят, что метод Эйлера является методом первого порядка точности.
Пример 1. Дана задача Коши: 
, 
. Найти её решение в точке 
при помощи метода Эйлера. Сравнить теоретическую и реальную погрешность, если точное решение есть функция
(1.5)
Решение. Применим формулу (1.3) при 
. Получим: 
= 
. Для сравнения полученного решения с точным решением разложим функцию (1.5) при в ряд Тейлора в окрестности точки 
. Получим: 
. Как видно, точное решение отличается от приближённого на величину порядка 
при 
- в полном соответствии с предсказаниями теории.
1.2. Модифицированный метод Эйлера. Попробуем уменьшить погрешность формулы метода Эйлера. Для этого в выражении (1.2) вместо функции 
возьмём функцию 
, где 
, 
. Если снова привлекать геометрическую интерпретацию, то можно сказать, что теперь отрезок прямой из точки мы проводим в точку с координатами под углом, под которым касательная к кривой проходит в точке 
. Итак, запишем формулу модифицированного метода Эйлера:
Подставляя сюда вместо 
их значения, получим:
(1.6)
Для того чтобы оценить порядок погрешности формулы (1.6), разложим стоящую в ней функцию (как функцию двух переменных) в ряд Тейлора в окрестности точки . Продолжая формулу (1.6), получим:
(1.7)
Здесь нижние индексы обозначают частные производные по соответствующим переменным. Сравнивая формулу (1.7) с решением задачи Коши методом Тейлора, можно заметить, что они совпадают вплоть до слагаемых порядка при 
. В этом смысле говорят, что модифицированный метод Эйлера является методом второго порядка точности. Итак, модификация (1.6) метода Эйлера позволяет строить решение задачи Коши с точностью, которая на порядок выше точности обычного метода Эйлера.
Пример 2. Дана задача Коши: , . Найти её решение в точке при помощи модифицированного метода Эйлера. Сравнить теоретическую погрешность с реальной, если точное решение есть функция, которая задаётся формулой (1.5).
Решение. Применим формулу (1.6) при . Получим: 
= 
. Для сравнения полученного решения с точным решением разложим функцию (1.5) при в ряд Тейлора в окрестности точки . Получим: 
. Как видно, точное решение отличается от приближённого на величину порядка 
при - в полном соответствии с предсказаниями теории.
1.3. Методы Рунге-Кутта. Метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера и обширное множество других методов решения задачи Коши для ОДУ первого порядка относятся с семейству методов Рунге-Кутта, которые обладают общими для этого семейства родовыми признаками. Перечислим их:
· во-первых, все они одношаговые; это означает, что для вычисления неизвестной функции на шаге (в узле) с номером 
применяется значение функции только с предыдущего шага 
;
· во-вторых, в расчётные формулы не входят производные, а только значения самих функций;
· в-третьих, все эти методы в качестве эталонного используют метод Тейлора, сравнение с которым позволяет определить порядок погрешности данного метода.
Приведём один из часто употребляемых вариантов метода – формулы Рунге-Кутта четвёртого порядка [1]:
(1.8)
1.4. Об устойчивости алгоритма. Наряду с точностью алгоритма одной из важных характеристик является его устойчивость. Например, при одних начальных данных численные результаты могут хорошо соотноситься с точными, а при других – существенно отличаться: в таком случае говорят, что данный алгоритм является неустойчивым по начальным данным. Бывает так, что при исследовании задачи Коши на «небольшом» отрезке времени, наблюдается хорошее согласование между точным и приближённым решениями, а на «большом» отрезке времени происходит их расхождение. Проиллюстрируем сказанное примером [1]. Рассмотрим ОДУ 
(1.9)
Оно имеет общее решение
(1.10)
Здесь 
- произвольная постоянная, конкретный вид которой зависит от начального условия. При начальном условии
(1.11)
Точное решение имеет вид
.
Предположим, что начальное условие задано с точностью 1%, т.е. вместо (1.11), на самом деле, должно быть
(1.12)
Нетрудно получить, что в этом случае решение может находиться в пределах от
до
.
Тогда при 
ошибка в определении может достигать 
, т.е. около 30%, в то время как в начальном условии (1.12) она составляла всего 1%. Таким образом, ошибка быстро возрастает с ростом 
(когда становится больше 1). Ясно (как отмечается в [1]), что никакой численный метод не может дать решение этого уравнения с точностью выше 30% при ; эта ошибка уже заложена в исходной информации. Поэтому в [1] такая ошибка называется внутренней неустойчивостью, а мы назвали её неустойчивостью по начальным данным.
В завершение данного подраздела, в качестве второго примера, рассмотрим решение следующей задачи Коши [4]
Она описывает зарядку конденсатора в RC -цепи с приложенным напряжением V. Здесь t – время, измеряемое в секундах; R =2000 Ом – сопротивление; 
Ф – ёмкость; V = 10 В. Глядя на это уравнение, попробуйте ответить на следующие вопросы: будет ли увеличиваться Q(t) с течением времени; если да, - то увеличение может продолжаться неограниченно или произойдёт насыщение?
Точное решение задачи (1.13) можно записать в виде
В связи с примером (1.13) выполните следующие упражнения:
а) решите задачу (1.13) с приведёнными значениями параметров встроенными средствами пакета Maple;
б) постройте в среде Maple график зависимости 
, приведённой выше;
в) реализуйте в среде Maple метод Эйлера решения задачи (1.13);
г) реализуйте в среде Maple модифицированный метод Эйлера решения задачи (1.13);
д) сравните на одном рисунке результаты (в форме графиков) выполнения а) и в), на другом рисунке – б) и г);
Е) при программировании методов Эйлера (пункты в) и г)) проведите численные эксперименты, увеличивая количество отрезков, на которые разбивается исходный отрезок интегрирования задачи Коши (аналогично первому примеру); можно ли на основании данных экспериментов сделать вывод об устойчивости или неустойчивости метода Эйлера для решения данной задачи Коши?
· Выполните индивидуальное задание: решите задачу Коши из Приложения 1, программируя описанные выше алгоритмы и в среде Maple, и сравните результаты. Как решать задачу, для которой нет ответа в конце учебника, и надеяться на то, что полученное решение - верное? Во-первых, теория методов Рунге-Кутта говорит нам о том, что погрешность приближённого решения должна уменьшаться при уменьшении шага . Следовательно, требуется проводить расчёты с различными значениями . Тогда, если с уменьшением будет сохраняться всё больше значащих цифр в получаемых решениях, то это позволит говорить о правильности получаемого решения.
Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 84 | Нарушение авторских прав