Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) можно описать явления и процессы в самых различных областях естествознания: это и движение системы материальных точек, и прохождение тока через электрические цепи, и развитие популяций животных и др. Вначале мы остановимся на методах решения задачи Коши для ОДУ первого порядка.

Определение 14.1. Задачей Коши (или начальной задачей) для одного ОДУ первого порядка называется задача решения следующей системы равенств:

(14.1)

Второе из них называется начальным условием. Предполагается, что, решая ОДУ, можно найти зависимость , начиная движение от начальной точки , на некотором отрезке, содержащем данную точку. Имеет место Теорема 14.1. (существования и единственности решения задачи (14.1) [20]). Если функция в некоторой области , содержащей окрестность точки , непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по переменной (, ), то на некотором отрезке существует единственное решение задачи (14.1).

Если обе части записанного выше условия Липшица разделить на , то получим:

(14.2)

Как видно, левая часть неравенства (14.2) представляет собой конечную разность, которая аппроксимирует первую производную функции по переменной . Таким образом, требование (14.2) ограничивает скорость изменения функции по переменной . Так «очень теоретическое», на первый взгляд, условие Липшица, позволяет нам уже на этапе подготовки к исследованию конкретного ОДУ предположить по виду его правой части, возможно ли здесь вообще найти единственное решение.

Пример 14.1. Решить задачу Коши (14.1), где , , .

Решение. Очевидно, задача имеет два решения: и ; нарушение единственности решения здесь можно было предположить, т.к. для данной функции не выполняется условие Липшица в окрестности .

14.1. Метод Тейлора. Предположим, что условия теоремы выполнены и существует решение задачи Коши (14.1) – функция . Предположим, также, что эта функция имеет достаточное количество непрерывных производных. Тогда значение функции в малой окрестности точки можно найти, разлагая эту функцию в ряд Тейлора:

(14.3)

Для того, чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо знать значения её коэффициентов , , и т.д. Значения первых двух могут быть получены непосредственно из (14.1). Для того, чтобы найти последующие, предположим, что правая часть ОДУ – функция - имеет достаточное количество частных производных. Тогда, дифференцируя (14.1), найдём:

(14.4)

и т.д. Здесь и далее нижние индексы обозначают переменные, по которым вычисляются частные производные от функции . Подставляя результаты вычислений в (14.3), получим:

(14.5)

Проводя подобное дифференцирование необходимое число раз, мы можем вычислить требуемое количество коэффициентов разложения (14.3). Метод Тейлора используется в качестве эталонного для определения точности других методов.

14.2. Метод Эйлера. Пусть решение задачи (14.1) – функцию - требуется получить на отрезке (точка совпадает с левой границей отрезка – точкой ). Разобьём отрезок на маленьких отрезков шириной узлами . Предположим, что решение задачи Коши известно в узле заданного отрезка. Аппроксимируем производную в этом узле при помощи одной из формул численного дифференцирования: ; подставим это выражение в левую часть уравнения (14.1). Преобразуя, получим:

(14.6)

Здесь и далее через обозначаем значение функции в точке . Тогда (14.6) можно переписать в виде

(14.7)

Это и есть формула метода Эйлера. Формула (14.6) показывает, что значение неизвестной функции в точке отрезка интегрирования можно подсчитать по известному значению функции в предыдущей точке . Выясним геометрический смысл формулы (14.6). Как следует из ОДУ (14.1), геометрический смысл его правой части – это тангенс угла наклона касательной к кривой . Тогда вычисление по формуле (14.6) означает, что на плоскости мы проводим отрезок прямой из точки с координатами к точке с координатами . Передвигаясь таким образом от узла к узлу на отрезке , мы построим ломаную линию, которая приближает гладкую кривую – решение . Понятно, что чем меньше расстояние между узлами, тем точнее ломаная приближает решение. В пределе при ломаная должна сливаться с кривой – точным решением задачи (14.1). Для того, чтобы выяснить, насколько точным является это приближение, сравним формулу (14.7) с разложением Тейлора (14.5). Заменим в (14.5) значения на соответственно, - на , разность - на . Тогда формулу (14.5) можно переписать в виде:

(14.8)

Мы видим, формула метода Эйлера (14.7) совпадает с разложением в ряд Тейлора (14.8) вплоть до слагаемых, пропорциональных в первой степени при . В этом смысле говорят, что метод Эйлера является методом первого порядка точности.

Пример 14.2. Дана задача Коши: , . Найти её решение в точке при помощи метода Эйлера. Сравнить теоретическую погрешность с реальной, если точное решение есть функция

(14.9)

Решение. Применим формулу (14.7) при . Получим: = . Для сравнения полученного решения с точным разложим функцию (14.9) в ряд Тейлора в окрестности точки . Получим: . Как видно, точное решение отличается от приближённого на величину порядка при - в полном соответствии с предсказаниями теории.

14.3. Модифицированный метод Эйлера. Попробуем уменьшить погрешность формулы метода Эйлера. Для этого в выражении (14.7) вместо функции возьмём функцию , где , . Если снова привлекать геометрическую интерпретацию, то можно сказать, что теперь отрезок прямой из точки мы проводим в точку с координатами под углом, под которым касательная к кривой проходит в точке . Итак, запишем формулу модифицированного метода Эйлера:

Подставляя сюда вместо их значения, получим:

(14.10)

Для того, чтобы оценить порядок погрешности формулы (14.10), разложим стоящую в ней функцию (как функцию двух переменных) в ряд Тейлора в окрестности точки . Продолжая формулу (14.10), получим:

(14.11)

Сравнивая формулу (14.11) с формулой (14.5) решения задачи Коши методом Тейлора, мы видим, что они совпадают вплоть до слагаемых порядка при . В этом смысле говорят, что модифицированный метод Эйлера является методом второго порядка точности. Итак, модификация метода Эйлера позволяет строить решение задачи Коши с точностью, которая на порядок выше точности обычного метода Эйлера.

Пример 14.3. Дана задача Коши: , . Найти её решение в точке при помощи модифицированного метода Эйлера. Сравнить теоретическую погрешность с реальной, если точное решение есть функция, которая задаётся формулой (14.9).

Решение. Применим формулу (14.10) при . Получим: =

. Для сравнения полученного решения с точным разложим функцию (14.9) в ряд Тейлора в окрестности точки . Получим: . Как видно, точное решение отличается от приближённого на величину порядка при - в полном соответствии с предсказаниями теории.

14.4. Методы Рунге-Кутта. Метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера и обширное множество других методов решения задачи Коши для ОДУ первого порядка относятся с семейству методов Рунге-Кутта, которые обладают общими для этого семейства родовыми признаками. Перечислим их:

· во-первых, все они одношаговые, что означает, что для вычисления неизвестной функции на шаге (в узле) номер применяется значение функции только с предыдущего шага ;

· во-вторых, в расчётные формулы не входят производные, а только значения самих функций;

· в-третьих, все эти методы в качестве эталонного используют метод Тейлора, сравнение с которым позволяет определить порядок погрешности данного метода.

Приведём без вывода один из часто употребляемых вариантов метода – формулы Рунге-Кутта четвёртого порядка [10]:

(14.12)

Об устойчивости алгоритма. Наряду с точностью алгоритма одной из важных характеристик является его устойчивость. Например, при одних начальных данных численные результаты могут хорошо соотноситься с точными, а при других – существенно отличаться: в таком случае говорят, что данный алгоритм является неустойчивым по начальным данным. Бывает так, что при исследовании задачи Коши на «небольшом» отрезке времени, наблюдается хорошее согласование между точным и приближённым решениями, а на «большом» отрезке времени происходит их расхождение. Проиллюстрируем сказанное примером [1]. Рассмотрим ОДУ (1.9)

Оно имеет общее решение

(1.10)

Здесь - произвольная постоянная, конкретный вид которой зависит от начального условия. При начальном условии

(1.11)

Точное решение имеет вид

.

Предположим, что начальное условие задано с точностью 1%, т.е. вместо (1.11), на самом деле, должно быть

(1.12)

Нетрудно получить, что в этом случае решение может находиться в пределах от

до

.

Тогда при ошибка в определении может достигать , т.е. около 30%, в то время как в начальном условии (1.12) она составляла всего 1%. Таким образом, ошибка быстро возрастает с ростом (когда становится больше 1). Ясно (как отмечается в [1]), что никакой численный метод не может дать решение этого уравнения с точностью выше 30% при ; эта ошибка уже заложена в исходной информации. Поэтому в [1] такая ошибка называется внутренней неустойчивостью, а мы назвали её неустойчивостью по начальным данным.

Дата добавления: 2015-12-08