Метод Рунге-Кутта второго порядка точности

Теоретические предпосылки

Будем рассматривать задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).Запишем систему в векторной форме

,

(6.1)

где: -искомая вектор-функция; t -независимая переменная; ; , m -порядок системы; координаты; t³0; .

Запишем систему (6.1) в развернутом виде

,

(6.2)

где: i =1,...,m; .

В случае i =1 -это будет ОДУ 1-го порядка, а при i =2 - система из двух уравнений первого порядка.

В случае i =1 решение задачи Коши предполагает нахождение интегральной кривой, проходящей через заданную точку и удовлетворяющую заданному начальному условию.

Задача состоит в том, чтобы найти искомую вектор-функцию u, удовлетворяющую (6.1) и заданным начальным условиям.

Метод Эйлера (частный случай метода Рунге-Кутта)

Уравнение (6.4) заменяется разностным уравнением

, n =0,1,2,…, .

В окончательной форме значения можно определить по явной формуле

.

(6.5)

Вследствие систематического накопления ошибок метод используется редко или используется только для оценки вида интегральной кривой.

Определение 1. Метод сходится к точному решению в некоторой точке t, если при t® 0, .

Метод сходится на интервале (0, t ], если он сходится в любой точке этого интервала.

Определение 2. Метод имеет р -й порядок точности, если существует такое число р >0, для которого при t®0, где: t - шаг интегрирования; O -малая величина порядка .

Так как , то метод Эйлера имеет первый порядок точности. Порядок точности метода совпадает с порядком точности разностной аппроксимации исходного дифференциального уравнения.

Методы Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта второго порядка точности

Отличительная особенность методов Рунге-Кутта от метода (6.5) заключается в том, что значение правой части уравнения вычисляется не только в точках сетки, но и также в середине отрезков(промежуточных точках).

,

(6.8)

где .

Можно показать, что метод (6.8) имеет второй порядок точности, т.е. .

Метод (6.8) называется методом прогноза и коррекции в том смысле, что на первом этапе решение как бы предсказывается с точностью , а на втором этапе - с точностью до (второй порядок точности).

Дата добавления: 2015-12-08