Нормальное распределение непрерывных случайных величин. Распределение Стьюдента. Интегральная функция распределения

Наиболее распространенным для непрерывных случайных величин является нормальное распределение с плотностью

где e - основание натуральных логарифмов;

μ, σ - параметры распределения.

Случайные погрешности многократных измерений обычно распределены по нормальному закону.

Кривые нормального распределения (рис. 4.4) симметричны относительно ординаты, проходящей через точку x = μ, и имеют в этой точке единственный максимум, равный 1 /() (мода для нормального закона распределения). При x=μ кривая симметрична относительно оси ординат. Абсциссам μ-σ и μ+σ соответствуют точки перегиба кривой; с уменьшением σ максимум кривой возрастает, и она становится более островершинной.

Рис. 4.4

Нормальное распределение также называют распределением Гаусса, использование которого для обработки конечных совокупностей случайных величин, если число n достаточно велико (n ³ 30). В этом случае условно считают, что наблюдаемые n значений величины X, т.е. x₁, x₂, …, x_n представляет собой случайную выборку из воображаемой бесконечной генеральной совокупности.

В статистике малых выборок (в микростатистике) большую роль играет другое распределение непрерывных случайных величин – распределение Стьюдента, плотность вероятности которого определяется выражением

где G(a) - гамма-функция (интеграл Эйлера второго рада);

t_g - величина, характеризующая степень отклонения выборочных статистических характеристик от генеральных;

k = n –1 - число степеней свободы.

Значение гамма-функции для целого положительного числа b можно вычислить по формуле

G(a) = (b - 1)!

График распределения Стьюдента напоминает по форме нормальное распределение и с увеличением n приближается к нему все больше (можно считать, что при n > 30 оба графика практически совпадают).

Следующий способ описания совокупности случайных величин – с помощью интегральной функции распределения. Значение этой функции F(x) при каждом фиксированном x равно вероятности того, что случайная величина X не превысит x, т.е. F(x) = p(X<x).

Интегральная функция нормального распределения (рис. 4.5) описывается формулой

и изменяется от 0 до 1 при изменении x от -¥ до ¥. Значения F(x; m, s) для конкретных x, m и s можно вычислить по таблицам стандартной функции – так называемого интеграла Лапласа F(y). Функция F(x; m, s) вычисляется по формуле

F(x; m, s) = F[(x-m)/s] + 0,5.

Таблица F(y) составлена только для положительных значений y, для отрицательных следует воспользоваться соотношением

F(-y) = -F(y).

Рис. 4.5

Контрольные вопросы.

1. Какие статистические характеристики для дискретной случайной величины Вы знаете?

2. Что такое гистограмма, полигон частот, кривая распределения плотности вероятностей непрерывной случайной величины?

3. В каких случаях магнитные методы применяются для доводки концентратов.

4. Дайте определение нормального распределения, распределения Стьюдента, интегральной функции распределения.

Литература к лекции: [1], [2], [4]

	Для заметок к лекции № 4

Лекция № 5

Обработка экспериментальных данных при прямых измерениях

Вопросы, выносимые на лекцию: Предварительная обработка результатов измерений. Методика обработки результатов прямых однократных измерений. Методика обработки результатов прямых однократных измерений. Методика обработки результатов прямых равноточных многократных измерений. Методика обработки результатов прямых неравноточных измерений

Дата добавления: 2015-11-26