Рациональная схема статистического моделирования

Требуемое число опытов для решения поставленной задачи с заданной точностью можно уменьшить, если воспользоваться одним из методов снижения трудоемкости статического моделирования. В качестве такого метода рассмотрим метод расслоенной выборки [3].

В соответствии с данным методом область G возможных значений случайного вектора разбивается на K =10 непересекающихся областей G_k:

G₁= [1.0÷1.04]; G₂= [1.04÷1.08]; G₃= [1.08÷1.12]; G₄= [1.12÷1.16]; G₅= [1.16÷1.2];

G₆= [1.2÷1.24]; G₇= [1.24÷1.28] G₈= [1.28÷1.32]; G₉= [1.32÷1.36]; G₁₀= [1.36÷1.40].

Метод предполагает проведение статического моделирования для каждой из областей G_k с использованием для вектора случайных параметров плотностей распределения вероятностей

где p_k – вероятность попадания случайного вектора V в область G_k

.

В нашем случае p_k = 0.1.

Блок-схема итерационного алгоритма метода расслоенной выборки приведена на рисунке 2.

Рисунок 2 - Блок-схема итерационного алгоритма метода расслоенной выборки.

1.Если для области G_k выполним N_k опытов, получим оценку математического ожидания искомого показателя для данной области:

. (11)

Результирующая оценка должна рассматриваться как случайная дискретная величина, значения которой наблюдаются с вероятностями p_k. Тогда результирующая оценка определяется усреднением:

. (12)

2.Определим дисперсию оценки (9), имея в виду, что все N₁+ N₂+ N₃+…+ N₁₀ слагаемые – независимые случайные величины:

. (13)

Дисперсия случайной величины может быть оценена следующим образом:

(14)

3. Введя в рассмотрение доли от общего количества опытов, соответствующие областям G_k,

,

на основе (10) получим соотношение для определения количества опытов, необходимого для получения результата с погрешностью не выше :

(15)

При удачном разбиении области G и удачном выборе соотношения количества опытов для отдельных областей G_k дисперсия оценки (13) может быть существенно снижена. Оптимальные

значения должны быть пропорциональны произведениям

Провели начальную серию опытов N=200. Алгоритм повторялся до тех пор, пока не выполнилось условие . Данное условие выполнилось после третьей итерации алгоритма.

После проведения данной серии опытов были получены следующие результаты:

Оценка математического ожидания для каждой из 10 областей

· Оценка математического ожидания для каждой из 10 областей на основании (11):

· Результирующая оценка математического ожидания по (12):

· Дисперсия для каждой из 10 областей по (14):

· Дисперсия оценки математического ожидания по (13):

· Требуемое количество опытов, рассчитанное по (15):

опытов.

Алгоритм повторялся до тех пор, пока не выполнилось условие . Данное условие выполнилось после третьей итерации алгоритма.

После второй итерации получили:

· N = 1982 опытов.

· Оценка математического ожидания для каждой из 10 областей:

· Результирующая оценка математического ожидания:

· Дисперсия для каждой из 10 областей:

· Дисперсия оценки математического ожидания:

(

· Требуемое количество опытов:

опытов.

После третьей итерации алгоритма:

· N = 2191 опытов.

· Оценка математического ожидания для каждой из 10 областей:

· Результирующая оценка математического ожидания:

· Дисперсия для каждой из 10 областей:

· Дисперсия оценки математического ожидания:

· Требуемое количество опытов:

опытов.

Дифференциальное уравнение (1) решается численным интегрированием методом Эйлера первого порядка [4] с шагом 0.001. Программа, реализующая данный метод снижения трудоемкости, написана на языке Delphi 7 [5] (Приложение B).

Таким образом, использование метода расслоенной выборки позволило обеспечить снижение требуемого количества опытов по сравнению со стандартной схемой в раз.

Заключение

По заданию курсовой работы требовалось определить математическое ожидание выходного сигнала X апериодического звена в момент времени T тремя методами. В результате решения данной задачи тремя способами были получены следующие результаты:

§ Используя стандартную схему статистического моделирования

§ Используя метод расслоенной выборки

§ Аналитически

Использование метода расслоенной выборки обеспечило снижение требуемого количества опытов по сравнению со стандартной схемой в 10.85 раз.

Дата добавления: 2015-12-08