Обнаружение сигналов как статистическая задача. Последовательность решения задачи обнаружения.

В результате процесса обнаружения должно быть принято решение о наличии или отсутствии сигнала. Решение может быть принято при двух взаимно исключающих условиях: условие А₁ — "сигнал есть"; условие А — "сигнала нет".

При выработке решения эти условия неизвестны. Из-за действия помех каждому из условий может соответствовать одно из двух решений: решение А₁ * т- "сигнал есть"; решение А₂ * - "сигнала нет".

Говорят о правильном обнаружении, если при условии А₁ выдается реше­ние А₁ *, и о пропуске сигнала, если за счет действия помех выдается решение А₂ *. Указанные условные решения можно охарактеризовать качественными показателями - соответствующими условными вероятностя­ми правильного обнаружения D = Р(А₁ *|А₁) и пропуска сигнала = Р(А₂ *|А₁). Решения А₁* и А₂* соответствуют одному и тому же условию наличия сигнала А₁ и являются взаимоисключающими, поэтому D + = 1.

При условии отсутствия сигнала А₂ возможно принятие правильного ре­шения A₂^* - "сигнала нет", что соответствует правильному необнаружению.

Если за счет действия помехи принимается решение А1* - "сигнал есть", то говорят о ложной тревоге. Качественными показателями решений при отсутст­вии сигнала являются условные вероятности ложной тревоги F= Р(А1*|А2) и правильного необнаружения =Р(А2*|А2). Для взаимоисключающих собы­тий A1* и A2* при одном и том же условии А2 справедливо соотношение F+ =1.

В реальных обнаружителях обычно требуется обеспечить достаточно вы­сокую вероятность правильного обнаружения D=0,9. Если считать, что условие А1 соответствует наличию сигнала s₁(t), а усло­вие А2—сигнала s₂(t), то при различении сигналов можно говорить о приня­тии соответствующих решений А1* и А2*.

P(A₁*| A₁)=P(s₁| s₁) и P(A₂*| A₁)=P(s₂| s₁). Условная вероятность P(s₂| s₁) характеризует ошибочную ситуацию.Очевидно что P(s₁| s₁)+ P(s₂| s₁)=1 Рассмотрим возможные ситуации при различении или обнаружении сигналов:

1) (A1*,А1)— правильный прием сигнала s1 (правильное обнаружение);

2) (A2*,А1) - ошибочный прием сигнала s2 (пропуск сигнала);

3) (A1*,А2)— ошибочный прием сигнала s1 (ложная тревога);

4) (A2*,А2) - правильный прием сигнала s2 (правильное необнаружение).

// Методика решения задачи обнаружения. Чтобы определить оптимальное решающее правило , необ­ходимо записать развернутое выражение вероятностей D и F. Эти вероятности характеризуются условными плотностями вероятности реализации r(t) при наличии и отсутствии сигнала в смеси. Чтобы определить плотности вероятнос­ти, рассмотрим простейший метод дискретного наблюдения, при котором бе­рутся отсчеты функции r(t) через равные отрезки времени . При этом интервал наблюдения разбивается на t равных элементарных интервалов, где t=Т/ .

8. Критерии оптимальности обнаружения: минимума среднего риска, минимальной взвешенной вероятности ошибки.

Каждая из ситуаций характеризуется своей вероятностью Р_i, причем . Поставим в соответствие каждой возможной ситуации риск R_i. Для ошибочных ситуаций этот риск больше, а для безошибочных — меньше или равен нулю. Средний риск < R > представляет математическое ожидание случайной величины R: <R>= (2.2), где - риск за i-ю ситуацию; Р_i — вероятность i-й ситуации.

Обозначим значения риска за ошибочные ситуации R_F=R(A₁*, A₂) и R_D=R(A₂*, A₁) и будем считать нулевой плату за безошибочные ситуации. Тогда средний риск можно записать в виде

<R>=R_FP(A₁*, A₂)+R_DP(A₂*, A₁) (2.3)

Вероятности входящие в выражение(2,3) согласно теореме умножения вероятностей можно выразить след образом:

P(A₁*, A₂)=P(A₂) P(A₁*, A₂)= P(A₂)P_e2

P(A₂*, A₁)=P(A₁) P(A₂*, A₁)= P(A₁)P_e1 (2.4)

В задачах обнаружения указанные вероятности определяются через D и F

P(A₁*, A₂)= P(A₂)F

P(A₂*, A₁)= P(A₁)D (2.5)

C учетом 2,3 и 2,5 запишем средний риск:

<R>=R_FP(A₂)F+R_DP(A₁)D (2.6)

Из всех систем обнаружения наилучшей следует считать ту, кото­рая обеспечивает наименьший средний риск. Таким образом, можно говорить об обнаружителе, оптимальном по критерию минимума среднего риска.

Cравним две системы, одна из которых является оптимальной по критерию(2,9). Тогда D_opt-l₀F_opt³D’-l₀F’ или D_opt³D’+l₀(F_opt-F’)

Отсюда при F’=F_opt

D_opt³D’ (2.10)

Соотношение (2.10) остается в силе и в случае, если F' <F_opt. Это озна­чает, что оптимальная система обеспечивает наибольшую вероятность правильного обнаружения из всех систем, у которых вероятность ложной тревоги не больше, чем у оптимальной системы. Указанные условия составляют содержание критерия Неймана-Пирсона. До­стоинством его можно считать независимость от априорных вероятностей на­личия или отсутствия сигнала, что существенно при решении задач ра­диолокационного обнаружения.

---

Дата добавления: 2015-12-08