Задача Эрланга.

Задача ставится так: имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью l. Поток обслуживания одним каналом имеет интенсивность m (величина, обратная среднему времени обслуживания tob). Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

А – абсолютную пропускную способность, то есть среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q – относительную пропускную способность, то есть среднюю долю обслуженных системой заявок;

Ротк - вероятность отказа, то есть вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной;

k – среднее число занятых каналов.

Состояние системы массового обслуживания S будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов):

S0 – в СМО нет ни одной заявки;

S1 - в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);

.....

Sk - в СМО находится k заявок (k каналов заняты, остальные свободны)

Sn - в СМО находятся n заявок (все n каналов заняты).

Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Воспользуемся уже выведенными формулами для финальных вероятностей в схеме «гибели-размножения».

Получим для P0:

где! обозначает факториал.

Члены разложения будут представлять собой коэффициенты при P0 в выражениях для P1, P2,... Pn:

Обозначим

и будем называть величину ρ приведенной интенсивностью потока заявок. Ее смысл - среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем полученные формулы в виде

Полученные формулы для финальных вероятностей состояний анализируемой СМО называются формулами Эрланга - в честь основателя теории массового обслуживания.

По финальным вероятностям можно вычислить характеристики эффективности СМО.

Сначала найдем Potk - вероятность того, что пришедшая в СМО заявка получит отказ. Для этого нужно, чтобы все n каналов были заняты, значит:

Отсюда находим относительную пропускную способность - вероятность того, что заявка будет обслужена:

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок на Q:

Абсолютная пропускная способность есть не что иное, как средняя интенсивность потока обслуженных системой заявок. Так как каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем μ заявок, то среднее число занятых каналов равно:

---

Дата добавления: 2015-12-08