Kvant tizimining statistik tavsifi

Ma’lumki moddalar tinimsiz va tartibsiz harakat qiluvchi atom va molekulalardan tashkil topgan. Ularning atom va molekulalari haqidagi maolumotlarga asoslanib, makroxossalarini o’rganuvchi fizikaning bo’limiga statistik fizika deyiladi. Ko’psonli zarrachalardan tashkil topgan sistemaning xossalari statistik qonunlarga bo’ysunadi. Statistik qonunlarni o’rganish natijasida sistema makroxossalarini hisoblash mumkin. Mazkur hisoblar sistema tarkibiga kirgan zarrachalarning ichki xossalariga, ularning harakatiga, o’zaro va tashqi muxit (jism) bilan taosirlashishlariga boliq bo’ladi.

Sharoitga qarab sistemaninng zarrachalari klassik yoki kvant mexanikasi qonunlariga bo’ysunadi. Npyuton mexanikasiga bo’ysunuvchi ko’psonli zarrachalardan tashkil topgan sistemalarning makroxossalarini (masalan: gazning energiyasini, uning idish devorlariga bosimini, maolum termodinamik jarayonlarda issiqlik, ish va energiya orasidagi bolanishlarni) klassik statistika o’rganadi. Kvant mexanikasi qonunlariga bo’ysunuvchi ko’p sonli mikrozarrachalardan tashkil topgan sistemalarning makroxossalarini(maslan: kristall panjaraning issiqlik siimi, qattiq jismlarning issiqlik va elektr o’tkazuvchanligi, issiqlik nurlanishi energiyasi va h.k.larni) kvant statistikasi o’rganadi.

Har ikki holda ham statistik qonuniyatlarni miqdor ji’atdan tavsiflash uchun ko’p o’lchovli tasviriy fazodan foydalaniladi. Tasviriy fazoni odatda fazaviy fazo deyiladi. Fazaviy fazoning koordinata o’qlari sifatida sistemaga kirgan zarrachalarning q_i koordinata va r_i impulpslari qabul qilinadi (i = 1,2,3,...,N). Berilgan sistema N zarrachadan tashkil topgan bo’lsa fazaviy fazo 6N o’lchovli bo’ladi. O’qlardan 3N tasi sistemadagi barcha zarrachalar koordinatalarining uchtadan proeksiyasiga, qolgan 3N o’qlar esa, mos ravishda impulpsning proeksiyalariga tegishli bo’ladi. Sistema bitta erkinlik darajasi bilan xarakterlansa fazaviy fazo ikki o’lchovli, erkinlik darajasi f bo’lsa - 2f o’lchovli bo’ladi.

Tasviriy fazodagi q va r larning qiymatiga mos kelgan “a” nuqta (13.1-rasm) berilgan vaqtdagi makro’olatga mos sistemaning mikro’olatini aniqlaydi yoki berilgan vaqtda sistemaning barcha zarrachalarining q_i koordinatalari va r_i impulpslarining majmuini belgilaydi va uni tasviriy yoki fazaviy nuqta deyiladi. Zarrachalarning o’zaro yoki sistemani o’rab olgan mu’it bilan taosirlashishi tufayli vaqt o’tishi bilan sistemaning makro’olati o’zgaradi. Bu hodisani fazaviy fazoda nuqtaning siljishi bilan ifodalash mumkin. ye tarlicha ko’p vaqt o’tishi bilan (T®¥) fazoda nuqtalar buluti hosil bo’ladi. Bu nuqtalar sistemaning berilgan makro’olatiga mos mumkin bo’lgan mikro’olatlaridan birini belgilaydi. Vaqt o’tishi bilan fazaviy nuqta tasviriy fazoning ixtiyoriy joyiga borib qolishi mumkin. Demak yetarlicha ko’p vaqt oraliida sistema, berilgan makro’olatga mos, mumkin bo’lgan barcha mikro’olatlardan o’tadi.

Yuqorida tasvirlangan fazaviy fazodagi manzara sistema xossalarini statistik bayon etish uchun mu’im kattalikni kiritishga imkon beradi. SHu maqsadda fazaviy fazoning quyidagi kichik bir hajm elementini ajratib olamiz:

dV = dq₁dq₂dq₃....dq_3Ndr₁dr₂dr... dr_3N. (13.1)

Mazkur hajm zarrachalarning koordinata va impul p lslari q_i, q_i+dq_i va r_i, r_i+ dr_i oraliqlarida bo’lgan qiymatlariga mos keladi.

Etarlicha ko’p vaqt o’tganda fazaviy fazoning istalgan dqdr qismidan o’ta chalkash fazaviy traektoriya ko’p marotaba o’tadi deb aytish mumkin.

Faraz qilaylik dt vaqt davomida sistemaning mikro’olatlari dqdr hajm elementi ichidagi fazaviy nuqtalar bilan ifodalansin, u holda

(13.2)

ifodani hodisalarning sodir bo’lish chastotasi yoki aniqroi, agar sistema kuzatilsa u istalgan vaqt la’zasida koordinata va impul p slari q, q+dq va r, r+ dr bo’lgan mikro’olatlarning birida bo’lish e’timolligi deb qarash mumkin.

Demak (13.1) dan ko’rinib turibdiki, hajm elementi qancha katta bo’lsa fazaviy nuqtaning uning ichida bo’lish e’timolligi shuncha ko’p bo’ladi, yaoni

dw ~ dqdr

Bu ifodaga f(q,r) ko’rinishida proporsionallik koeffisientini kiritib quyidagini hosil qilamiz:

dw = f(q,r)dqdr (13.3)

bu yerda f(q,r) - e’timollik zichligi vazifasini o’taydi va uni sta-tistik taqsimot funksiyasi yoki oddiygina taqsimot funksiyasi deb ataymiz. Taqsimot funksiyasi shunday bo’lishi kerakki, u quyidagi shartni bajarilishini taominlashi lozim:

(13.4)

(13.4) ifodani normallash sharti deyiladi. Uning maonosi shundan iboratki, agar zarracha mavjud bo’lsa, butun fazo bo’yicha topilishi muqarrar hodisadir.

Koordinata va impulpslari q, q+dq va r, r+ dr oraliida bo’lgan mikro’olatlarning e’timolligi dw(q,r) yoki taqsimot funksiyasining aniq analitik ko’rinishi maolum bo’lsa sistemaning har qanday o’rtacha xossasi < x >ni hisoblash mumkin. haqiqatdan ham e’timollar nazariyasiga binoan x xossaning o’rtacha qiymati quyidagiga teng:

(13.5)

bu yerda <x>-ixtiyoriy fizik kattalikning o’rtacha qiymati.

Taqsimot funksiyasini topishga erishish o’ta mu’im a’amiyatga ega, chunki u sistema makroxossasi x ning (dS) dan hisoblangan va tajribada aniqlangan (haqiqiy) qiymalarti bir xil bo’lishini taominlashga xizmat qiladi.

Quyida taqsimot funksiyasiga yana qaytamiz. hozir esa kvant va klassik statistikalari orasidagi umumiylik va farqni oydinlashtirib olamiz.

Yuqorida bayon etilgan fikrlar ham klassik, ham kvant mexanikasi qonunlariga bo’ysunuvchi ko’p sonli zarrachalardan tashkil topgan sistemalarning xossalarini o’rganish uchun umumiydir. Ular orasidagi farq esa klassik va kvant zarrachalarning xossalari bilan belgilanadi:

v kvant zarrachalarning holatlari diskret o’zgaradi, klassik zarrachalarniki esa uzliksiz o’zgaradi;

v berilgan holatdagi bir xil kvant zarrachalari (masalan: elektronlar, protonlar) mutlaqo bir-birlaridan farqlanmaydilar, chunki ularning holatlari to’lqin funksiyalari modulining kvadrati bilan aniqlanganligi uchun funksiyaning ishorasiga boliq emas:

bu yerda x₁ va x₂ lar ikkita birxil kvant zarrachalarining koordinatalari.

v kvant zarralari xususiy mexanik momentga, yaoni spinga ega;

v kvant zarrachalari korpuskulyar - to’lqin xususiyatiga ega bo’lganliklari tufayli, noaniqliklar prinsipiga binoan, fazaviy fazodagi hajm elementi dqdr ³ h³ dan kichik bo’la olmaydi. Demak berilgan hajm elementiga kirgan holatlar soni cheklangan va quyidagi ifoda

-koordinatalari q, q+dq va impulplslari r, r+ dr oraliida bo’lgan holatlarning sonini bildiradi. Bu yerda - dV_q= dq₁dq₂dq₃ ...... dq_3N va dV_r=dr₁dr₂dr_3...... dr_3N.

Koordinatalar fazosi bo’yicha (13.3) integrallansa dV_q larning yiindisi sistema egallagan to’la hajm V ni beradi.

Impulpslar fazosidagi hajm elementi esa quyidagicha aniqlanadi (13.2-rasm):

dV_r = 4pr²dr. (13.6)

(13.6) ni inobatga olsak, impulpslari r va r+dr oraliida bo’lgan kvant holatlarning soni

. (13.7)

Zarrachaning impulpsi bilan kinetik energiyasi orasidagi bolanish ni inobatga olsak, energiyalari E va E+dE oraliida bo’lgan kvant holatlarning soni

(13.8)

ko’rinishini oladi.

E’timollar nazariyasiga binoan, agar sistema tarkibidagi zarrachalar soni N >>1 bo’lsa berilgan holatdagi zarrachalar soni

(13.9)

bo’ladi, bu yerda DN(E_i) - energiyasi E_i va E_i+DE_i oraliida bo’lgani zarrachalar soni; Dg_i - energiyalari E_i va E_i+DE_i oraliida bo’lgan holatlar soni, f(E) - zarrachalarning taqsimot funksiyasi va u har bir holatdagi zarrachalarning o’rtacha soniga teng.

Mazkur funksiyaning analitik ko’rinishini e’timollar nazariyasi qonun va qoidalaridan foydalanib xususiy xollar uchun Maksvell, Bolpsman, Fermi - Diraklar va umumiy hol uchun esa Gibbs aniqlagan. Uni quyidagi umumiy ko’rinishda yozish mumkin:

(13.13)

bunda ye_i - i holatdagi zarrachalar energiyasi, m - sistemaning kimyoviy potensiali, yaoni sistemadagi zarrachalar sonini bittaga oshirish uchun kerak bo’lgan energiya. k - Bolpsman doimiysi, T - absolyut temperatura, d - doimiy son bo’lib zarrachalarning turiga boliq. Masalan: bozonlar uchun d = -1; fermionlar uchun d =+1, klassik zarrachalar uchun esa d = 0.

Demak spinlari nolga va ga juft son marta karrali bo’lgan zarrachalar, yaoni bozonlar uchun, taqsimot funksiyasi quyidagi ko’rinishga ega va uni Boze-Eynshteyn taqsimoti deyiladi

(13.13)

Spinlari ga toq son marta karrali bo’lgan zarrachalar, yaoni fermionlar uchun esa taqsimot funksiyasini Fermi - Dirak taqsimoti deyiladi

(13.13)

(13.13) va (13.13) taqsimot funksiyalardan foydalanib tarkibida N>>1 zarrachalari bo’lgan har qanday berk sistemadagi energiyasi ye va ye+dE oraliida bo’lgan zarrachalarning dN sonini quyidagi ifoda bilan hisoblash mumkin

dN = nfdg (13.13)

Bunda n - zarrachalarning ichki xolatini (erkinlik darajasini) hisobga oladigan son. Masalan: fermionlar va fotonlar uchun n = 2.

Дата добавления: 2015-10-29