Закономірності вільного руху тіл у середовищі

Вільним називається падіння окремих ізольованих одна від одної частинок у необмеженому об’ємі середовища.

Швидкість вільного падіння тіл у середовищах визначається взаємодією сил:

- гравітаційної

F₁ = πd³ (δ – Δ) g / 6, Н, (2.1)

- гідродинамічного опору

F₂ = ψV²d²Δ, Н, (2.2)

де d – еквівалентний діаметр кулі рівновеликої за об’ємом реальному тілу, м; δ – густина тіла, кг/м³; Δ – густина середовища, кг/м³; g – прискорення вільного падіння, м/с²; ψ – коефіцієнт гідродинамічного опору середовища рухомому тілу; V - швидкість тіла в середовищі, м/с.

Сила опору середовища рухомому в ньому тілу залежить від режиму руху – ламінарного або турбулентного. Режим руху характеризується безрозмірним параметром – числом Рейнольдса:

Re = VdΔ /μ, (2.3)

де μ – динамічний коефіцієнт в’язкості, Па • с.

Ламінарний режим обтікання відбувається при невеликих швидкостях руху (Re <1) частинок малої крупності (d < 0,1 мм). У цьому випадку сила в’язкісного опору середовища обумовлюється силами тертя і описується законом Стокса:

F₂^• = 3πμVd. (2.4)

Якщо динамічний коефіцієнт в'язкості μ представити з використанням формули (2.3), то рівняння (2.4) можна перетворити в такий спосіб:

F₂^• = 3πV²d²Δ / Re. (2.5)

Турбулентний режим обтікання характерний для високих швидкостей руху (Re >1000) великих частинок (d > 2 мм). Турбулентне обтікання супроводжується утворенням вихорів за рухомим тілом, інерційний опір середовища рухомому тілу описується законом Ньютона-Ріттінгера:

F₂^•• = πV²d²Δ / 16. (2.6)

Тіло випробовує одночасно вплив двох опорів, але в різному ступені. При параметрах Рейнольдса Re <1 переважає дія сил в'язкості, при параметрах Рейнольдса Re >1000 переважає дія сил інерції.

Для проміжної області значень параметра Рейнольдса 1 ≤ Re ≤ 1000, що відповідають швидкостям руху частинок крупністю 0,1 ≤ d ≤ 2 мм, Аллен запропонував визначати опір тілу за формулою:

F₂^•••= 5πV²d²Δ / (8 ). (2.7)

При цьому коефіцієнт гідродинамічного опору середовища залежно від режиму руху приймає значення:

ψ = π / 16 – рух у турбулентній області; (2.8)

ψ = 5π / (8 ) – рух у проміжній області; (2.9)

ψ = 3π / Re – рух у ламінарній області. (2.10)

У результаті узагальнення експериментальних даних Релеєм була отримана діаграма ψ = f (Re) для різних режимів руху кулястих тіл у різних середовищах (рис. 2.1), але для практичних цілей застосувати діаграму Релея досить складно.

Аналітичний вираз для визначення швидкості руху тіла в середовищі з урахуванням основних сил – гравітаційної (2.1) і опору (2.2), може бути отриманий з рівняння:

. (2.12)

При m = πd³δ/6 прискорення падаючого в середовищі тіла складає:

, м/с². (2.13)

Спочатку (протягом часу t₀) тіло рухається в середовищі прискорено:

t₀ = 2,5 V₀ / g₀, с, (2.14)

де V₀ – кінцева швидкість руху тіла, м/с; g₀ – початкове прискорення, м/с²:

, м/с². (2.15)

За час t₀ тіло проходить шлях L₀:

L₀ = 1,8 V₀² / g₀, м. (2.16)

Після закінчення проміжку часу t₀ настає рівновага сил, прискорення тіла дорівнює нулю і тіло рухається рівномірно зі швидкістю V₀ = const, що називається кінцевою швидкістю вільного падіння:

, м/с. (2.17)

З урахуванням коефіцієнта опору ψ (2.8) – (2.10) можуть бути отримані вирази для визначення швидкості руху тіл у різних режимах.

Дата добавления: 2015-10-26