Вынужденные колебания

Незатухающие гармонические колебания

Гармонические колебания совершаются под действием упругих или квазиупругих (подобные упругим) сил, описываемых законом Гука:

,

где F – сила упругости;

х –смещение;

k – коэффициент упругости или жесткости.

Согласно ІІ закону Ньютона , где а – ускорение, а = .

(1)

Разделим уравнение (1) на массу m и введем обозначение , получим уравнение в виде:

(2).

Уравнение (2) – дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний.

Его решение имеет вид: или .

Характеристики незатухающих гармонических колебаний:

х – смещение; А – амплитуда; Т – период; – частота; – циклическая частота, – скорость; – ускорение, – фаза; ₀ – начальная фаза, Е – полная энергия.

Формулы:

– число колебаний, – время, за которое совершается N колебаний;

, ; или ;

или ;

– фаза незатухающих гармонических колебаний;

– полная энергия гармонических колебаний.

Затухающие гармонические колебания

В реальных системах, участвующих в колебательном движении, всегда присутствуют силы трения (сопротивления):

, – коэффициент сопротивления; – скорость.

.

Тогда ІІ закон Ньютона запишем:

(2)

Введем обозначения , , где – коэффициент затухания.

Уравнение (2) запишем в виде:

(3)

Уравнение (3) – дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Его решение , где

– амплитуда колебаний в начальный момент времени;

– циклическая частота затухающих колебаний.

Амплитуда колебаний изменяется по экспоненциальному закону:

.

Характеристики:

1) – период затухающих колебаний; 2) – частота затухающих колебаний; – собственная частота колебательной системы;

3) логарифмический декремент затухания (характеризует скорость убывания амплитуды): .

Вынужденные колебания

Для получения незатухающих колебаний необходимо воздействие внешней силы, работа которой восполняла бы вызванное силами сопротивлений уменьшение энергии колеблющейся системы. Такие колебания называются вынужденными.

Закон изменения внешней силы: , где – амплитуда внешней силы.

ІІ закон Ньютона запишем в виде

Введем обозначения .

Уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

.

Решение этого уравнения в установившемся режиме:

,

где

(4)

– частота вынужденных колебаний.

Из формулы (4), когда , амплитуда достигает максимального значения. Это явление называется резонансом.

5.Волна – это процесс распространения колебаний в упругой среде.

Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся точки, участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени: S = f (x;t).

"0"

Если S и X направлены вдоль одной прямой, то волна продольная, если они взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.

Уравнение в точке "0" имеет вид . Фронт волны дойдет до точки "х" с запаздыванием за время .

Уравнение волны имеет вид .

Характеристики волны:

S – смещение, А – амплитуда, – частота, Т – период, – циклическая частота, – скорость.

– фаза волны, – длина волны.

Длиной волны называется расстояние между двумя точками, фазы которых в один и тот же момент времени отличаются на .

Фронт волны – совокупность точек имеющих одновременно одинаковую фазу.

Поток энергии равен отношению энергии, переносимой волнами через некоторую поверхность, к времени, в течении которого эта энергия перенесена:

, .

Интенсивность: , –площадь, .

Вектор интенсивности, показывающий направление распространения волн и равный потоку энергии волн через единичную площадь, перпендикулярную этому направлению, называется вектором Умова.

– плотность вещества.

7.Звук – это механическая волна, частота которой лежит в пределах , – инфразвук, – ультразвук.

Различают музыкальные тоны (это монохроматическая волна с одной частотой или состоящая из простых волн с дискретным набором частот – сложный тон).

Шум – это механическая волна с непрерывным спектром и хаотически изменяющимися амплитудами и частотами.

Характеристики звука

Энергетической характеристикой звука является интенсивность.

На практике для оценки звука удобнее использовать звуковое давление.

Звуковое давление ( ) – это избыток давления в звуковой волне над атмосферным.

, ,

где – скорость звука, – интенсивность звуковой волны.

Характеристики слухового ощущения

Высота тона – зависит от частоты, чем выше частота, тем выше звук (определяется минимальной частотой акустического спектра, рис. 14).

Тембр – "окраска" звука, зависит от состава акустического спектра (совокупность простых волн, образующих сложные).

Громкость – субъективная характеристика звука, которая характеризует уровень слухового ощущения.

– коэффициент пропорциональности, зависящий от частоты и интенсивности;

– интенсивность исследуемого звука;

– порог слышимости; – порог болевых ощущений.

Для , , .

Единицей измерения громкости, является Белл – это громкость звука, которая при имеет , при этом .

. 1 Децибел (дБ) или 1 фон = 0,1 Б.

Зависимость громкости от частоты учитывают с помощью кривых равных громкостей, получаемых экспериментально, и используется для оценки дефектов слуха. Метод измерения остроты слуха называется аудиометрия. Прибор для измерения громкости называется шумомер. Норма громкости звука должна составлять 40 – 60 дБ.

8. Ультразвук – это механическая волна с частотой . Верхним пределом ультразвуковой частоты можно считать 10 ⁹ – 10 ¹⁰ Гц.

В 1880 г. П. Кюри открыл пьезоэффект.

Для получения ультразвука используют ультразвуковые излучатели, основанные на обратном пьезоэлектрическом эффекте: к электродам прикладывается переменное электрическое поле и пластинка кварца (сегнетовой соли, титаната бария) начинает вибрировать, излучая механическую волну определенной частоты.

Приемник ультразвука использует прямой пьезоэффект: возникновение разности потенциалов на гранях пьезокристалла при его деформации.

Дата добавления: 2015-10-23