Динамика. Изучает причины движения и связь характеристик движения с причинами.

Изучает причины движения и связь характеристик движения с причинами.

Законы Ньютона.

3-й закон Ньютона (3 з-н Н).

Сила – мера взаимодействия тел Þ тела взаимодействуют с силами, равными по величине и противоположными по направлению: = – . Замечание: эти силы приложены к разным телам (рис.13).

2-й закон Ньютона (2 з-н Н).

Рассмотрим инерциальную СО. Пусть в момент времени t₁ тело имело массу m₁, скорость и Þ импульс = m₁ × , а в момент времени t₂ тело имело массу m₂, скорость и Þ импульс = m₂ × . Тогда за интервал времени Dt = t₂ – t₁ тело под действием равнодействующей внешних сил изменило: массу на величину Dm = m₂ – m₁, скорость на величину D = – и Þ импульс на величину D = – .

Ньютон опытным путём установил: D = × Dt (3.1.1) – в инерциальных СО изменение импульса тела равно импульсу внешних сил (2-й закон Ньютона для одиночного тела).

Перепишем (3.1) следующим образом: = (3.1.2) или = (3.1.3). При m₂ = m₁ = m = const из (3.1.3) Þ m ∙ = (3.1.4) или m ∙ = (3.1.5).

Рассмотрим 2-й закон Ньютона для системы тел, показанных на рис.14.

Напишем 2-й закон Ньютона в виде (3.1.1) для каждого из “n” тел рис.14, получим следующую систему из “n” уравнений.

(3.1.6).

После сложения уравнений в (3.1.6) получим: = ( + ) × Dt (3.1.7).

В (3.1.7) = 0 по 3-му з-ну Ньютона.

Тогда получим 2-й з-н Ньютона для системы тел: = × Dt (3.1.8.1) или D = × Dt (3.1.8.2) – изменение суммарного вектора импульса системы равно импульсу равнодействующей внешних сил.

В (3.1.8.2): D = – изменение суммарного вектора импульса системы из “n” тел; = – равнодействующая (векторная сумма) внешних сил.

После деления (3.1.8.1) на Dt получим: = (3.1.9).

Если массы всех тел постоянны (const), то после деления (3.1.8.1) на Dt получим: = (3.1.10.1) или = (3.1.10.2) или

m_Σ ∙ = (3.1.10.3), где: m_Σ = ; = (3.1.11.1); m_Σ, – суммарная масса и ускорение центра масс системы соответственно.

Аналогично при = 0, то: = (3.1.11.2); = + (3.1.11.3); , – скорость и радиус – вектор (координаты) центра масс системы соответственно.

Рекомендации.

Использовать 2-й з-н Ньютона в форме (3.1.8.1) или (3.1.8.2) целесообразно при изменении конфигурации системы тел: соударения, рассыпания и т.д.

Использовать 2-й з-н Ньютона в форме (3.1.10.2) или (3.1.10.3) целесообразно при постоянной конфигурации системы тел; форма (3.1.10.1) применяется, если ускорения тел системы меняются со временем: = (t); форма (3.1.9) применяется, если массы тел системы зависят от скорости, меняющейся со временем: m_i = m_i( (t)).

Частные случаи 2-го з-на Ньютона (закон сохранения импульса).

Рассмотрим (3.1.8.2). D = 0 Þ = const (закон сохранения импульса) при:

1. = 0;

2. ¹ 0, но есть такая ось “X”, что = 0 Þ DР_ΣХ = 0 Þ Р_ΣХ = const;

3. Dt → 0 – за очень маленький интервал времени внешние силы существенно изменить

импульс системы не могут;

4. << F_ij Þ D » × Dt Þ D » 0 Þ » const, здесь D – изменение импульса

каждого элемента системы тел определяется, согласно условию, внутренними силами

системы.

Замечания. Условия для выполнения случаев “1” и “2” реально не имеют места и могут выполняться приближённо. Случаи “3 и 4” имеют место при взрывах и соударениях тел.

Примеры.

1. Под действием силы “ ” тело массы m = 2 кг, двигаясь по окружности с постоянной скоростью V = 3 м/с, совершает один оборот за Т = 10 с. Найти: изменение импульса тела , ; импульс силы “ ×Δt”, силу “ ” при прохождении телом: а) четверти и б) половины оборота.

Решение. Траектория – окружность Þ радиус R = const; | | = const Þ | | = а _n = const Þ | | = | | = | | = F = const; ^ ; | | = | | = | | = Р = const. Р = m × V = 2×3 = 6 (кг×м/c).

Длина окружности L = V × T = 2 ×p × R Þ R = = = (м).

Нормальное ускорение а _n = = = 0,6×p (м/с²) Þ F = m × а _n = 2×0,6×p = 1,2×p (H).

2. Из сплошного однородного диска радиуса R = 1 м и плотностью r = 100 кг/м² вырезан круг радиуса r = 0,1 м. Расстояние между центрами диска “О_Д“ и круга “О_К“ равно b = 0,4 м. Найти координату “Ц” центра масс этой фигуры.

Спроецируем (3.1.11.3) на ось “Х”: Х_Ц = = – = – ≈ – 0,4 м.

Решение.

Дата добавления: 2015-07-08