Характеристики звена

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра автоматизации технологических процессов

В. Г. Васильев

Типовые звенья систем автоматического управления

(апериодическое звено первого и второго порядка)

для студентов 3 курса спец. 1905500

"Биотехнические и медицинские аппараты и системы"

и для студентов 3 курса спец. 1906600
"Инженерное дело в медико-биологической практике "

по курсу “Управление в медико-биологических системах ”

Tверь 2005

УДК [681.326+681322](075.8)

ББК 32.965 Я7

Методические указания предназначены для студентов 3 курса спец. 1905500 "Биотехнические и медицинские аппараты и системы" и для студентов спец. 1906600 "Инженерное дело в медико-биологической практике" по курсу “Управление в медико-биологических системах ”. Содержат основные сведения об апериодических звеньях первого и второго порядков, временных и частотных характеристиках.

Обсуждены на заседании кафедры и реко­мендованы к печати (протокол N 14 от 21 июня 2005 г.).

Составитель: доцент кафедры Автоматизации технологических процессов В.Г. Васильев.

©Тверской государственный

технический университет, 2005

Содержание

1. Апериодическое звено 1-го порядка. ………………………………3

2. Апериодическое звено 2-го порядка…………………………………7

3. Построение переходных характеристик апериодических
звеньев с помощью цифровых ЭВМ…………………………………10

Использованная литература…………………………………………..10

1. Апериодическое звено 1-го порядка

Характеристики звена

Звено называется апериодическим звеном 1-го порядка, если его дифференциальное уравнение имеет вид

.

(1.1)

Данное звено называют также инерционным или емкостным. Параметр T называется постоянной времени звена, а к – коэффициентом усиления. Это звено имеет еще название инерционного или емкостного.

Из дифференциального уравнения следует, что передаточная функция звена имеет вид

.

(1.2)

Найдем переходную характеристику звена, зная, что изображение по Лапласу единичного входного воздействия есть . Тогда

Данное выражение можно преобразовать к виду

,

откуда с помощью таблиц преобразования Лапласа получаем

Y(t) = k – k exp (- t / T) = k [1 – exp (- t / T) ] 1(t), для t ≥0,

(1.3)

где 1(t)– единичная ступенчатая функция.

Первый член в данном выражении описывает вынужденное движение системы (под действием ступенчатого единичного воздействия). Эта составляющая течением времени не стремится к нулю. Поэтому её называют установившемся значением переходного процесса. Второй член называют свободным или собственным движением. Переходная характеристика звена показана на рис. 1.1.

Рис. 1.1 – Переходная характеристика апериодического звена 1-порядка

Найдем импульсную характеристику (весовую функцию) звена, как производную от переходной характеристики. Из уравнения (1.3) получаем

.

Для момента времени t = 0

.

Следовательно, уравнение касательной в точке t = 0 к кривой переходного процесса

При t =T имеем

.

Поэтому постоянная времени звена Т – это время, в течение которого переходный процесс достиг бы нового установившегося значения равного к, при условии, что скорость его протекания была бы постоянной и равной . На рис. 1.1 касательная пересекает y(t)= k в момент времени t = 3T.

В действительности за время, равное 3T переходный процесс достигает 95% нового установившегося значения, и это время считают временем завершения переходного процесса. Таким образом, постоянная времени апериодического звена характеризует его инерционность (инерционное запаздывание в передаче входного сигнала на выход звена).

Рассмотрим второй параметр звена – коэффициент усиления. Предел

называют конечным пределом или установившимся значением выхода звена/ системы на единичное ступенчатое воздействие. Согласно теореме о предельном значении

при условии, что y(x) имеет конечное значение.

Для получаем

.

Если y(x) имеет конечное значение, то и предел в правой части этого равенства существует. Если же y(x) не имеет конечного значения, то предел в правой части может существовать, но никакого смысла не имеет.

Таким образом, из (1.2) при p = 0 получаем W(0) = k, что соответствует коэффициенту пропорциональности между входом и выходом звена (другими словами коэффициенту усиления звена) в установившемся режиме. Это правило справедливо не зависимо от порядка системы.

Дата добавления: 2015-07-08