поперечные колебания струн

Основные соотношения при продольных и крутильных колебаниях стержней, а также для поперечных колебаний струн приведены в табл. 1 (сечение постоянное, масса распределена равномерно).

Обозначения: F, J_p — площадь и полярный момент инерции поперечного сечения; r, Е, G — плотность и модули упругости мате­риала стержня; и = и (х, t), v = v (x, t), j = j (х, t) — продольное и поперечное перемещения и угол поворота текущего поперечного се­чения х в текущий момент времени, t, m, J — масса и момент инерции груза, соединенного с концом стержня; с — жесткость упругой связи, находящейся на конце стержня.

Соотношения	Колебания стержня	Поперечные колебания струны
Продольные	Крутильные
Дифференциальное уравнение задачи о свободных колебаниях
Частное решение
Общее решение
Собственная форма колебаний
Функция времени
Граничные условия	Свободное сечение		-
Закрепленное сечение
Доп. груз на левом конце			-
То же на правом конце			-
Упр. связь на левом конце			-
То же на правом конце			-

Для определения спектра собственных частот нужно записать гра­ничные условия в развернутой форме; при этом образуется однородная система двух уравнений относительно постоянных C_k и D_k. Далее фор­мулируют условие существования ненулевых решений для C_k и D_k. Таким образом, получается уравнение частот, корни этого трансцендент­ного уравнения и являются искомыми частотами. После этого обра­зуются собственные формы колебаний.

Пример 1. Определить собственные частоты и формы продольных колебаний консольного стержня (левый конец х = 0 закреплен, правый конец х = l — свободный).

Граничное условие на левом конце:

X (0) = D_k = 0.

Граничное условие на правом конце

X' (0) = С_к (p_k/a) cos (p_kl/a) = 0

Частотное уравнение

cos (p_kl/a) = 0

Откуда

p_k=p(2k-1)a/(2l)

Собственная форма колебаний

X_k (x) = С_к sin [p(2k-1)x/(2l)]

Результаты для различных комбинаций граничных условий даны в табл. 2 (данные относятся как к продольным, так и к крутильным колебаниям).

Метод начальных параметров

В задачах о колебаниях стержней со ступенчатым изменением попе­речного сечения, а также в случаях, когда со стержнем связаны сосре­доточенные массы или сосредоточенные упругие связи, удобно поль­зоваться методом начальных параметров и нормировать не собствен­ную форму колебаний X_k, а функцию времени T_k

T_k= sin (p_kt+j_k) (1)

При этом собственная форма приобретает смысл кривой амплитуд колебаний, постоянные C_k и D_k выражаются через начальные параметры и собственную форму записывают в виде

u (x) = ` N<sub>0</sub>a/(rEF) sin (px/a)+ ` u₀ cos (px/a) (продольные колебания); (2)`

j (x) = ` М<sub>0</sub>a/(rGF) sin (px/a)+ ` j ₀ cos (px/a) (крутильные колебания). (3)

В выражениях (2) и (3) ` u<sub>0</sub> и ` j ₀ — начальные смещения (линейное и угловое); ` N<sub>0</sub> и` М₀ — начальные усилия (продольное усилие и крутящий момент); все эти величины относятся к сечению х = 0 в момент времени, когда Т (t) = 1. Выражениям (2) и (3) соответствуют выра­жения для внутренних усилий о текущем сечении

N (x) = ` N<sub>0</sub> cos(px/a)+ ` u₀(EFp)/a sin(px/a) (продольные колебания); (4)`

M (x) = ` М<sub>0</sub> cos (px/a)+ ` j ₀ (GFp)/a sin(px/a) (крутильные колебания). (5)

С помощью выражений (2) и (4) образуются последовательные соотношения для конца первого участка длиной l_1, т.е.

u₁ = ` N<sub>0</sub>a/(rEF<sub>1</sub>) sin (p l<sub>1</sub>/a)+ ` u₀ cos (p l₁/a)

N₁ = ` N<sub>0</sub> cos(p l<sub>1</sub>/a)+ ` u₀(E F₁p)/a sin(p l₁/a)

здесь F₁ — площадь сечения на первом участке; затем для конца второго участка

` u<sub>2</sub> = ` N₁a/(rEF₂) sin (p l₁/a)+ ` u₁ cos (p l₁/a),

` N<sub>2</sub> = ` N₁ cos(p l₁/a)+ ` u₁(E F₂p)/a sin(p l₁/a)

и т.д. до конца стержня

Таким способом величины и_n и N_п для концевого сечения выражают через начальные параметры. В этих соотношениях будут содержаться и_n и N_п и и₀ и N_0, изкоторых какие-либо две_равны нулю (в за­крепленном сечении и = 0, в свободном сечении N = 0); уравнение частот получают из условия, что остальные две из указанных величин не равны нулю.

Схема стержня	Собственные частоты	Собственные формы колебаний

Пример. Определить собственные частоты ступенчатого стержня

Если на общей границе двух соседних участков расположена сосре­доточенная масса m_s, то при переходе через этот участок продольная сила N претерпевает разрыв, равный силе инерции, развиваемой мас­сой m._s:

здесь индексы минус и плюс соответствуют сечениям, расположенным непосредственно левее и правее границы.

Пример. Определить собственные частоты ступенчатого стержня

В конце второго участка N₂ = 0, т. е. по выражению ();

отсюда следует частотное уравнение

В задачах о крутильных колебаниях аналогично соотношениям () получаем

---

Дата добавления: 2015-07-08