Модели объектов систем управления

Краткие теоретические сведения

Для любого объекта имеющего входную переменную u (t) и выходную – y (t) могут быть составлены модели двух типов:

1. модели “вход-выход” – непосредственно связывающие y (t) с u (t).

2. модели “в пространстве состояний” – связывающие y (t) с u (t) через промежуточные переменные x (t) – вектора состояния, которые отражают внутреннюю структуру модели.

В моделях ”вход-выход” обычно используется: дифференциальное уравнение n -го порядка, передаточная функция, частотные характеристики, переходная характеристика.

Передаточная функция звена (системы) W (s) – это отношение изображения по Лапласу выходного сигнала y (s) к изображению по Лапласу входного сигнала u (s) при нулевых начальных условиях:

Передаточная функция имеет две формы представления:

tf – полиномиальная форма, в которой передаточная функция задается двумя векторами строками, составленными из коэффициентов многочленов числителя и знаменателя в порядке убывания степеней S. Например, оператор

W = tf ([2 1], [1 5 6])

создает объект W подкласса tf, соответствующий передаточной функции

;

zpk –форма нулей, полюсов и коэффициента усиления, в которой полиномы записаны через их корни: нули числителя – zi, полюса знаменателя pj.

zpk –форма определяет передаточную функцию выражением вида:

и для рассматриваемого примера создаётся командой

W 2= zpk ([-1/2], [-2, -3], 2)

или преобразуется из W

W 2= zpk (W)

к виду

.

В параметрах пространства состояний система n -го порядка описывается системой уравнений

которая кроме входных u (t) и выходных y (t) физических переменных содержит внутренние переменные x (t) вектора состояния математической модели.

Обобщенная структурная схема модели изображена на рис. 1 (полагается, что D = 0). Матрица А называется основной матрицей системы, В – матрицей входа, С – матрицей выхода, D – матрицей связи.

Рис. 1. Структурная схема модели в пространстве состояний.

Как видно из рис. 1 и записанных выше уравнений в пространстве состояний, матрица A является матрицей коэффициентов обратных связей модели, охватывающих все n интеграторов, выходы которых являются переменными x (t) вектора состояния.

Входы интеграторов – производные . В отличие от моделей «вход-выход» форма представления модели в пространстве состояний не единственна. Структура модели и переменные вектора состояния могут быть изменены, но при этом содержание и внешние характеристики модели останутся неизменным.

Будем рассматривать линейные непрерывные системы с одним входом и выходом. Модели с простыми характерными структурами называются каноническими. Пусть передаточная функция системы имеет вид

Выражение называется характеристическим полиномом системы. Характеристический полином (знаменатель передаточной функции) является важнейшей характеристикой модели, определяющей устойчивость переходных процессов, их форму и длительность.

tf − форма представления передаточной функции системы запишется следующим образом W = tf (1,[1 a ₁ a ₂ a ₃]). При этом создается объект с именем W. Преобразование модели W в пространство состояний можно выполнить с помощью команды W com = canon(W, ’com’). При этом значения матриц A, B, C и D будут иметь вид

а скалярная форма уравнений состояния запишется следующим образом

Соответствующая структура будет содержать обратные связи, исходящие из одной точки. Она соответствует форме уравнений состояния с присоединенным характеристическим полиномом в виде столбца коэффициентов, которая называется столбцовой присоединенной канонической формой.

Использованием команды W com’ осуществляется перенос коэффициентов характеристического полинома в первую строку матрицы А в инверсном порядке. Столбцовая каноническая форма переводится при этом в строчное представление с матрицей вектора B, C и D остаются такими же.

Скалярная форма уравнений состояния приобретает вид:

Структура соответствующей модели содержит обратные связи, сходящиеся в одной точке. Она соответствует форме уравнений состояния с присоединенным характеристическим полиномом в виде строки коэффициентов, которая называется строчной присоединенной канонической формой.

Матрица А в обоих рассматриваемых случаях имеет форму Фробениуса, которая включает большое число разновидностей. Коэффициенты Фробениусовой матрицы с точностью до знака равны коэффициентам знаменателя передаточной функции при условии, что старший коэффициент приведен к 1.

Основой структуры модели в пространстве состояний в присоединенной канонической форме будет цепочка из n последовательно включенных интеграторов, где n – порядок системы.

В матрицах A, B, C, D модели отражается её структурная схема. Порядок квадратной матрицы A совпадает с n – количеством интеграторов, выходы которых являются переменными x (t) вектора состояния. Входы интеграторов – производные .

Например, если главная диагональ (номер 0) матрицы A состоит из нулей, то все интеграторы структурной схемы не имеют собственных обратных связей. Полностью нулевая матрица A означает, что все интеграторы структурной схемы не связаны между собой. Диагональ (номер -1) под главной диагональю, состоящая из единиц, указывает на последовательное соединение всех интеграторов в порядке их номеров. Диагональ (номер 1) над главной диагональю, состоящая из единиц, указывает на последовательное соединение всех интеграторов в обратном порядке.

Коэффициенты i -той строки матрицы A являются коэффициентами обратных связей, приходящих на вход i -го интегратора с выходов всех остальных. Коэффициенты j -того столбца матрицы A являются коэффициентами обратных связей, исходящих с выхода j -го интегратора на входы всех остальных.

Каждый элемент столбца B определяет связи входов всех интеграторов с входом модели. Каждый элемент строки C определяет связи выходов всех интеграторов с выходом модели.

Жесткое подключение входного сигнала U ко входу первого интегратора в схеме отражается единицей в первой строке столбца В. При этом входным сигналом управляется вся цепочка интеграторов и структуру называем управляемой.

Снятие выходного сигнала у с выхода только последнего интегратора в схеме отражается единственной единицей в строке С. Такую структуру называем наблюдаемой.

Дата добавления: 2015-07-08