Истечение жидкости через отверстия в тонкой стенке при переменном уровне

Истечение жидкости при переменном уровне встречается при опорожнении и наполнении резервуаров, цистерн, шлюзовых камер, бассейнов и других емкостей. Обычно в этом случае необходимо определить время опорожнения или наполнения емкости.

Рассмотрим случай опорожнения резервуара через донное отверстие в атмосферу (рис. 5). Пусть резервуар призматического сечения и имеет площадь . Очевидно, движение жидкости будет неустановившимся, так как уровень е течением времени опускается, что вызывает постоянное уменьшение расхода.

рис.5

Выберем какой-то момент времени, в который уровень жидкости в резервуаре будет у. За бесконечно малый промежуток времени dt уровень жидкости уменьшится на величину dy (за этот промежуток времени движение можно считать установившимся). За что время вытечет объем жидкости, равный

, (135)

или

. (136)

Выражая тот же объем жидкости через размеры резервуара, имеем

. (137)

Знак минус поставлен потому, что dy величина отрицательная (снижение уровня), а объем должен быть величиной положительной.

Приравнивая правые части уравнений (136) и (137), получим

,

откуда

. (138)

Интегрируя полученное выражение, найдем время истечения

, (139)

или, вынося постоянные величины за знак интеграла,

,

.

Итак, время понижения уровня от до

. (140)

Время полного опорожнения, т. е. если равно

. (141)

Рассмотрим случай истечения под уровень (рис. 6). Пусть разность уравнений жидкости в резервуарах равна у, площади поперечного сечения резервуаров соответственно и .

рис.6

Определим время выравнивания уровней при истечении жидкости через отверстие в тонкой стенке. За бесконечно малый промежуток времени из первого резервуара вытечет объем жидкости

, (а)

во втором резервуаре прибудет тот же объем, равный

, (б)

в то же время

. (в)

Из чертежа имеем

или

, (г)

но , откуда

.

Подставим значение в уравнение (г)

,

откуда

. (д)

Подставим значение из выражения (д) в уравнение (а)

и приравняем правые части полученного уравнения и уравнения (в)

.

Разделим переменные и интегрируем

и

; (142)

в частном случае при

. (143)

Дата добавления: 2015-07-07