Вектор положення

Реферат

На тему “Кінематика матеріальної точки”

Виконала:

Учениця Гр. ОКВ-ЕОМ-1

Богачук Юлія

Викладач:

Введення

Кінематика це розділ фізики, присвячений математичному опису руху без аналізу причин, що призводять до його виникнення або зміни. Причиною зміни або виникнення руху є сила, а сила по II -у закону Ньютона пов'язана з масою. Тому для того, щоб виключити з розгляду силу досить не розглядати масу. При цьому крім сили з розгляду випадають багато механічні поняття: імпульс, енергія, момент імпульсу. А що залишається, то і розглядається в кінематиці. Таким чином, кінематику можна було б назвати механікою без маси.

Найпростіший об'єкт, здатний рухатися це матеріальна точка: тіло, розміри якого нехтує малі в умовах даної фізичної задачі. Рухом матеріальної точки називається зміна її положення з плином часу. Тому перше кінематичне поняття, з яким ми стикаємося це положення.

Вектор положення

Положення чого завгодно неможливо задати саме по собі. Все знаходиться щодо чогось. Значить, ми повинні спочатку встановити початок відліку (точку О), а це неможливо зробити по- іншому, крім як поставивши туди якесь матеріальне тіло (тіло відліку). І від цього «головного» тіла вже можна проводити геометричні вектори, що з'єднують початок відліку з тим чи іншим положенням матеріальної точки.

Геометричним вектором називається спрямований відрізок, що з'єднує положення двох матеріальних точок.

Геометричний вектор, що з'єднує тіло відліку з матеріальною точкою, називається вектором положення матеріальної точки.

При завданні положення матеріальної точки відносно тіла відліку останнє за визначенням вважається нерухомим. Тому всі можливі вектори положень починаються з однієї точки і називаються радіус - векторами.

Сукупність усіх можливих радіус - векторів утворює простір.

Зміна початку відліку приводить до зміни всіх радіус - векторів. Яким чином? Відповідь залежить від системи постулатів, якими ми збираємося користуватися. Класична механіка, яку ми в основному і вивчаємо, використовує постулати Галілея - Ньютона.

Якщо положення матеріальної точки М щодо тіла відліку в точці О позначити, щодо іншого тіла відліку в точці О ' позначити, а геометричний вектор, що з'єднує точки О і О', позначити, то спостерігач в точці О буде бачити три геометричних вектора.

Нехай іншому спостерігачеві в точці О 'немає діла ні до чого, крім матеріальної точки М. Надалі системі відліку з допитливі спостерігачем приділятиметься «другорядна» роль. На противагу цьому система з спостерігачем, який бачить все, буде вважатися «основний». Загалом, спостерігач О ' бачить тільки один вектор. Як співвідноситься геометричний вектор, видимий в просторі О ' з геометричним вектором, видимим у просторі О? Відповідь на це питання дає перший постулат Галілея: геометричні вектори в різних системах відліку однакові. Тобто. Тоді попередній малюнок можна переробити так.

І правило додавання векторів по трикутнику дозволяє записати співвідношення між трьома векторами

Відповідно до цього співвідношенням можна знаходити положення в «основний» системі відліку, знаючи їх во «другорядної». Таке перетворення радіус - векторів будемо називати зворотним перетворенням Галілея. Відповідно, пряме перетворення дозволяє знаходити положення під «другорядної» системі відліку, знаючи їх в «основний»:

Надалі небудь величина в «основному» просторі називатиметься «абсолютної», у «другорядному» просторі «відносної», а та, через яку вони пов'язані, переносний. значить

«Абсолютний» радіус -вектор;

"Відносний" радіус -вектор;

переносний радіус - вектор.

Отже, у відповідність з першим постулатом Галілея зміна початку відліку приводить до зміни простору, який описується перетворенням Галілея. Це означає, що простір відносно.

2. Траєкторія руху

Використовуючи поняття радіус -вектора, рух можна описати функціональною залежністю, де t час. Оскільки положення щодо, то і рух відносно. Відносні і всі поняття, пов'язані з ним. Першим з таких понять ми розглянемо траєкторію.

Траєкторією називається сукупність положень, пройдених тілом в процесі руху.

Тіло не може в один і той же момент часу знаходитися в різних положеннях. Тому траєкторія являє собою лінію, і при цьому лінію безперервну. Залежно від форми траєкторії розрізняють прямолінійний і криволінійний рух. Якщо криволінійна траєкторія лежить в одній площині, то рух називається плоским.

Якщо траєкторія являє собою просторову криву, то в кожній точці траєкторії можна ввести поняття дотичної площини.

Дотичної площиною в якій-небудь точці траєкторії М називається граничне положення площини, що проходить через три точки N, M, P цієї траєкторії, коли точки N і P необмежено наближаються (прагнуть) до точки М.

Через три точки, що не лежать на одній прямій можна прости окружність і при тому єдину. Тому для будь-якої точки криволінійної траєкторії можна ввести поняття дотичної кола.

Дотичної окружністю в якій-небудь точці траєкторії М називається гранична коло, що проходить через три точки N, M, P цієї траєкторії, коли точки N і P необмежено наближаються (прагнуть) до точки М.

Центром і радіусом кривизни траєкторії в точці М називається центр і радіус кривизни окружності, дотичної з траєкторією в точці М. Очевидно, що в разі просторової траєкторії дотична окружність лежить в дотичної площини. Прямолінійну траєкторію можна вважати траєкторією з нескінченним радіусом кривизни.

Орт це вектор, що не володіє фізичної розмірністю (безрозмірний), модуль якого дорівнює одиниці. Будь вектор можна представити як добуток модуля на орт. Наприклад, радіус - вектор:

Значить, орт будь-якого вектора дорівнює приватному від ділення вектора на його орт.

Нормаллю траєкторії в точці М називається орт, направлений з точки М в центр кривизни траєкторії в точці М.

Ортом дотичної в точці М називається орт, дотичний до дотичної кола в точці М і спрямований по руху.

Ясно, що.

Переміщенням називається вектор зміни положення або вектор різниці між подальшим становищем і попереднім:

У разі, якщо жоден відрізок траєкторії не проходить матеріальною точкою двічі, то шлях або колійна координата S (t) це довжина траєкторії від точки початку руху до даного моменту часу.

Відзначимо дві точки на траєкторії: M з радіусом - вектором і N з радіусом – вектором.

Тоді для переміщення та прирощення шляху S завжди справедливо.

(рівність виконується в разі прямолінійної траєкторії). при цьому

У разі криволінійної траєкторії елементарним переміщенням і збільшенням шляху dS називаються такі, для яких із заданою наперед точністю виконується.

Отже, ми маємо зв'язок між елементарними переміщенням і збільшенням шляху.

3. Швидкість і прискорення руху

Середньою швидкістю руху називається відношення переміщення до проміжку часу, протягом якого відбулося переміщення.

Середньої шляхової швидкістю називається відношення приросту шляху до проміжку часу, протягом якого було пройдено це прирощення.

Миттєвою швидкістю руху називається межа середньої швидкості при прагненні проміжку часу до 0.

Миттєвої шляхової швидкістю називається межа середньої шляхової швидкості при прагненні проміжку часу до 0.

Елементарним проміжком часу dt називається проміжок часу, для якого із заданою наперед точністю і середня, і середня шляхова швидкість збігаються з відповідними миттєвими швидкостями.

Елементарним переміщенням в довільному випадку назвемо переміщення, що відбулося за елементарний проміжок часу dt. Елементарним приростом шляху dS в довільному випадку назвемо прирощення, пройдена за елементарний проміжок часу dt.

Користуючись мовою вищої математики, ми можемо сказати, що миттєва швидкість руху або просто швидкість руху є першою похідною радіус -вектора за часом, а шляхова швидкість є першою похідною за часом шляхової координати.

Для того щоб елементарне переміщення в довільному випадку збігалося з елементарним переміщенням для криволінійної траєкторії потрібно, щоб точності обчислення співвідношень

збігалися. Про це завжди можна домовитися. Тому ми завжди будемо вважати, що для елементарного проміжку часу.

Тобто модуль швидкості руху збігається з шляхової швидкістю. Кінцеве прирощення шляху по визначенню

За визначенням прискоренням матеріальної точки називається перша похідна за часом швидкості руху, тобто друга похідна за часом радіус -вектора.

Перший доданок пов'язано тільки зі швидкістю зміни величини швидкості руху. Т.к. ця частина повного прискорення спрямована по дотичній, то вона називається дотичним прискоренням.

Другий доданок пов'язано тільки з зміною напрямку швидкості руху. Зобразимо два положення матеріальної точки на траєкторії, розділені елементарним приростом шляху dS, і відповідні орти дотичній і. З'єднаємо положення з центром кривизни траєкторії в точці dS.

Малий кут d між радіусами збігається з кутом між ортами дотичній як гострі кути із взаємно перпендикулярними сторонами. З другого малюнка видно, що спрямований перпендикулярно, тобто по орту нормалі, а його величина

Кут d пов'язаний з елементарним приростом шляху dS = R d, де R - радіус кривизни траєкторії. Звідси.

Т.к. ця частина прискорення спрямована по нормалі, то вона називається нормальним прискоренням.

Зведемо всі формули разом.

4. Відносність швидкості руху

Ми вже користувалися поняттям системи відліку, хоча робити цього не мали права. З усіх атрибутів системи відліку був введений тільки один: початок відліку. Інший атрибут - годинник, що знаходяться на початку відліку. Нехай двоє годин перебували в одній системі відліку, а потім «розійшлися» по різним. Перебуваючи в одному місці, вони були синхронізовані. Як вплине на їх свідчення відносна швидкість? Відповідь на це знову залежить від вибору системи постулатів. У механіці Ньютона - Галілея «працює» другий постулат Галілея: про абсолютність проміжків часу. Відповідно до цього постулату, якщо годинники були синхронізовані, то їх відносна швидкість не впливає на їх свідчення. Згадаймо зворотне перетворення Галілея для радіус - векторів:. Візьмемо елементарні зміни (диференціали) від обох частин цієї рівності.

Поділимо це рівність на елементарний проміжок часу щогодини «основного» спостерігача, протягом якого відбулися елементарні переміщення, рівність залишиться вірним.

Дата добавления: 2015-07-08