Исследование спектров периодических сигналов.

При анализе сигналов в установившемся режиме можно исходить из предположения, что сигналы исследуемые существуют бесконечно долго и принять в качестве математической модели таких сигналов периодическую функцию времени.

Пусть функция , заданная в интервале времени и удовлетворяющая условиям Дирихле, повторяется с периодом на протяжении времени от -¥ до +¥. Условия Дирихле: на любом конечном интервале функция должна быть непрерывной или иметь конечное число точек разрыва первого рода, а также конечное число экстремальных точек; в точках разрыва функцию следует считать равной

.

В качестве базисных функций выбираются экспоненциальные функции, тогда результирующий, сложный сигнал представляется как сумма базисных функций:

, (1.2.1)

, (1.2.2)

Соотношение (1.2.1) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме, содержащий экспоненциальные функции с положительным и с отрицательным параметром (двустороннее частотное представление). Составляющие с отрицательными частотами являются следствием комплексной формы записи вещественной функции.

Функция называется комплексным спектром периодического сигнала . Этот спектр имеет дискретный характер, так как функция определена на числовой оси только для целых значений . Значение функции при конкретном значении называется комплексной амплитудой.

Огибающая комплексного спектра имеет вид:

.

Комплексный спектр можно записать в форме:

.

Модуль комплексного спектра называется спектр амплитуд, а функция - спектр фаз.

Если известны спектр амплитуд и спектр фаз сигнала, то в соответствии с (1.2.1) он восстанавливается однозначно. В практических приложениях более значимым является спектр амплитуд, а информация о фазах составляющих часто несущественна.

Поскольку и отличны от нуля только при целых k, спектры амплитуд и фаз периодического сигнала являются дискретными.

По формуле Эйлера

можно выразить комплексный спектр в виде действительной и мнимой частей:

,

где

;

.

Спектр амплитуд

является четной функцией , т. е.

.

.

Спектр фаз - функция нечетная, т.е. .

При получаем постоянную составляющую:

.

От двустороннего спектрального представления можно перейти к одностороннему (не имеющему отрицательных частот), объединяя комплексно-сопряженные составляющие . В этом случае получаем ряд Фурье в тригонометрической форме. Выделив в (1.2.1) постоянную составляющую с учетом (1.2.2) и обозначив через окончательно, получим:

.

Отдельные составляющие и называются гармониками. Как спектр амплитуд, так и спектр фаз периодического сигнала удобно представлять наглядно спектральными диаграммами. На диаграмме спектра амплитуд каждой гармонике ставится в соответствие вертикальный отрезок, длина которого пропорциональна амплитуде, а расположение на оси абсцисс отвечает частоте этой составляющей. Поскольку в результате спектры отображаются совокупностями линий, они называются линейчатыми.

Дата добавления: 2015-07-08