Экстремумы функций нескольких переменных

Необходимое условие экстремума. Если - точка локального экстремума функции , дифференцируемой в точке , то - стационарная точка функции, т.е. в этой точке: ,…, . Достаточное условие экстремума. Функция в стационарной точке , при условии , где , , : 1) имеет максимум, если и ; 2) имеет минимум, если и ; 3) не имеет экстремума, если .

В задачах 6.82-6.100 найти экстремумы следующих функций нескольких переменных:

6.82. 6.83. 6.84.

6.85. 6.86. 6.87.

6.88 (). 6.89 6.91. 6.93. 6.96. 6.98.

Если функция дифференцируема в ограниченной и замкнутой области, то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой области или в стационарной точке, или в граничной точке области.

В задачах 6.109-6.110 найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций в указанных областях:

6.109 а) ; б) ;

В).

6.110 а) ; б) ;

В).

6.112 Найти наибольший объем, который может иметь прямоугольный параллелепипед, если:

а) площадь его поверхности равна S; б ) сумма длин его ребер равна a; в) длина его диагонали равна .

6.113 Найти наименьшую площадь поверхности, которую может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен V.

6.118 Цены двух видов товара и равны соответственно и ден.ед. за 1ед. товара Найти при каких объёмах и продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет следующий вид: а) , , ; б) , , .

6.120 Цены двух видов ресурсов и , используемых для производства некоторой продукции равны соответственно и ден.ед. в расчёте на 1ед. ресурса. Найти оптимальное распределение объёмов ресурсов , если производитель при бюджете стремится максимизировать функцию выпуска продукции, которая имеет вид .

ОТВЕТЫ:

6.63 а) б) в) г) . 6.64 а) , ; б) , . 6.65 а) , ; б) , ; в) , ; г) , . 6.66 а) , б) . 6.67 а) , б) . 6.68 а) . б) . в) . г) . 6.71а) , б) 6.77а) ; б) . 6.78 1) ; 2) . 6.82 6.83 Экстремумов нет. 6.84 6.85 6.86 6.87 6.88 6.89 6.91 6.93 , 6.96 6.98 6.109 а) , ; б) , ; в) , . 6.110а) , ; б) , ; в) , . 6.112 а) б) ; в) куб с длиной ребра . 6.113 6.118 а) , максимальная прибыль = 28 ден.ед; б) , максимальная прибыль = 176 ден. ед. 6.120 .

Дата добавления: 2015-07-08