Камышинский технологический институт

(филиал)

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Волгоградский государственный технический университет»

Белов А.В.

Неумоина Н.Г.

Иващенко А.П.

КИНЕМАТИКА

Методические указания для студентов

заочной формы обучения

Камышин 2011

УДК 531.8 (07)

К 41

Кинематика: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Теоретическая механика». / Сост. А.В. Белов, Н. Г. Неумоина, А.П.Иващенко; Волгоград, гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2011 – 32 с.

Содержит примеры и задания по темам: простое и сложное движение точки, поступательное, вращательное и плоскопараллельное движение твердого тела.

Методические указания подготовлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Теоретическая механика» и предназначены в помощь студентам очной, очно-заочной и заочной форм обучения, обучающимся по направлениям: 151900.62, 261100.62, 140400.62.

Ил. 8. Табл. 5. Прил. 4. Библиогр.: 3 назв.

Рецензент: к.т.н., доцент,

заведующий кафедрой Шеин А.А.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Волгоградского государственного технического университета

© Волгоградский

государственный

технический

университет 2011

Задание К-1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнения движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t₁ (c) найти положение токи на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны в соответствующей точке.

Необходимые исходные данные приведены в Приложении 1.

Пример выполнения задания

Исходные данные:

(cм)

(см) (1)

t₁ = 1 c.

Решение

1. Определяем уравнение траектории точки, исключив параметр времени «t» из уравнений ее движения. Для этого разделим левые части уравнений системы (1) на постоянные множители правой части и возведем каждый член уравнения в квадрат.

(2)

Сложив почленно уравнения системы (2) и воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, получим

.

Данное уравнение является каноническим уравнением эллипса с полуосями: по оси x=4 и по оси y=3. Подставив время t₁ = 1 c в уравнения движения (1) получим координаты точки на траектории движения: x=3,44 см; y=1,50 см.

2. Определяем проекции вектора скорости на оси координат как первые производные от уравнений движения точки

см/с,

см/с.

3. Определяем проекции вектора ускорения точки как первые производные от проекций вектора скорости или вторые производные от уравнений движения точки

,

.

4. Определяем модули векторов скорости и ускорения точки в заданный момент времени

,

.

5. На рисунке показываем траекторию движения точки М, ее положение в заданный момент времени, а также проекции векторов и вектора скорости и ускоренияточки.

6. Определяем касательное ускорение точки

7. Определяем нормальное ускорение точки

.

8. Определяем радиус кривизны траектории точки

.

Ответы заносим в таблицу. Радиус кривизны траектории движения точки и ее координаты – в , скорость – в , ускорение – в .

Таблица 1

3,44	1,50	2,10	-2,72	3,42	-3,33	-1,65	3,62	-0,74	3,54	3,30

 

Рис.1

Задание К-2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях.

Механизм состоит из двух вращающихся на неподвижных осях блоков, соединенных нерастяжимым ремнем. Блоки передают движение грузам ( ). Задан закон изменения скорости груза D . Найти и через 1с после начала движения.

Схемы механизмов приведены в Приложении 2.

1. По заданной скорости груза D определяем угловую скорость блока В:

.

2. Определяем угловую скорость блока А, связанного нерастяжимой нитью с блоком В. Для этого составляем передаточное отношение, учитывая взаимосвязь блоков по схеме механизма:

.

3. Определяем скорость груза С, подвешенного на большом радиусе блока А

 

Рис.2

4. Находим угловое ускорение блока В, дифференцируя по времени выражение его угловой скорости

.

5. Определяем центростремительное , вращательное и полное ускорение точки М, находящейся на внешнем ободе блока В.

;

;

.

6. Изображаем на схеме механизма направления вращений блоков А и В, а также вектора центростремительного , вращательного и полного ускорений точки М.

Ответы заносим в таблицу. Угловая скорость – в , угловое ускорение – в , скорость поступательного движения тела C – в , ускорение точки М – в .

Таблица 2

6,0	4,0	120,0	16,0	240,0	240,0	339,4

Задание К-4. Кинематический анализ многозвенного механизма

Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью . Для заданного положения механизма определить:

a) скорости точек А, В, С, … механизма и угловые скорости всех его звеньев с помощью плана скоростей;

b) скорости этих же точек механизма и угловые скорости звеньев с помощью мгновенных центров скоростей;

c) ускорения точек А и В и угловое ускорение звена АВ.

Рис.3

Схемы механизмов и необходимые размеры звеньев приведены в Приложении 3.

1. Определяем скорости точек и угловые скорости звеньев с помощью плана скоростей. Строим схему механизма в выбранном масштабе и вычисляем скорость точки А кривошипа ОА

Вектор перпендикулярен ОА и направлен в сторону вращения кривошипа. Строим план скоростей. Из произвольно выбранного полюса, точки Р в выбранном масштабе проводим отрезок Ра, изображающий скорость точки А. Для определения скорости точки В через точку Р проводим прямую, параллельную вектору скорости точки В, через точку а – прямую, перпендикулярную звену АВ. На пересечении получаем точку b, отрезок Рb определяет скорость точки В. Измеряем длину отрезка Рb и, пользуясь масштабом скоростей, находим . Для определения скорости токи G делим отрезок аb плана скоростей в отношении . Отрезок Рg изображает скорость точки G, делящей звено АВ пополам. Пользуясь масштабом скоростей, находим . Продолжая построение плана скоростей (Рис.4б), находим скорости точек С и D. Результаты представлены в таблице 3, направления векторов скоростей точек – на рис.4а.

Таблица 3

Метод определения	Скорости точек, см/с
B	C	D	F
По плану скоростей	48,0	12,0	7,0	17,0
При помощи МЦС	50,1	11,95	7,35	16,8

Чтобы определить угловые скорости звеньев механизма, необходимо вращательные скорости звеньев, которые на плане скоростей изображаются отрезками ab, bc, cd, разделить на длины соответствующих звеньев.

;

;

;

.

Рис.4

Угловую скорость звена DE определяем по вращательной скорости точки D вокруг неподвижного центра Е

.

Результаты расчетов занесены в таблицу 4.

2. Определяем скорости точек и угловые скорости звеньев механизма с помощью мгновенных центров скоростей.

Чтобы определить положение мгновенных центров скоростей, строим механизм в выбранном масштабе и для каждого звена определяем точку пересечения перпендикуляров к направлениям двух векторов скоростей точек этого звена. Мгновенные центры скоростей звеньев механизма приведены на рисунке 4а. Скорости точек пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей. Исходя из этого, можно составить соотношения, с помощью которых определить скорость одной из точек звена, если известна скорость другой точки. Например,

;

;

.

Скорость точки F, расположенной на колесе радиусом R определяется через угловую скорость этого колеса

.

Определив скорости точек механизма, можно найти и угловые скорости звеньев. Для этого необходимо разделить скорость одной из точек звена на расстояние от этой точки до мгновенного центра скоростей. Например,

;

;

.

Результаты расчетов приведены в таблице 4.

Таблица 4

Метод определения	Угловые скорости звеньев, рад/с
AB	BC	DC	Колесо
По плану скоростей	0,93	1,39	0,48	1,20
При помощи МЦС	0,97	1,42	0,46	1,20

3. Определяем ускорения точек А и В. Кривошип ОА вращается равномерно, поэтому точка А будет иметь только нормальное ускорение

.

Ускорение точки В определяем по теореме о сложении ускорений при плоскопараллельном движении твердого тела

Центростремительное ускорение точки В во вращательном движении шатуна относительно полюса А направлено от точки В к полюсу А и определяется по формуле

.

Строим план ускорений для определения ускорения точки В. Вращательное ускорение звена АВ известно только по направлению. Оно располагается всегда перпендикулярно к звену. Результирующий вектор ускорения точки В располагается на траектории этой точки, которая вместе с ползуном совершает возвратно-поступательное движение. План ускорений приведен на рис. 4в. Из плана ускорений, пользуясь масштабом, определяем модуль вращательного ускорения звена АВ , а затем и его угловое ускорение

.

Задание К-7. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки при сложном движении

Прямоугольник ABCD вращается вокруг оси, проходящей через вершину А, по закону . Ось вращения перпендикулярна плоскости прямоугольника (рис. 5). По круговому каналу радиуса R=10 cм с центром в точке С, расположенному на прямоугольнике, движется точка М. Дуговая координата точки меняется по закону см. Дано: АВ=12 см, ВС=15 см. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки при .

Движение точки М представим в виде относительного движения по круговому каналу и переносного движения вместе с вращающимся прямоугольником.

Рис.5

1. Вычисляем значение дуговой координаты при и определяем положение точки в подвижной системе координат. За время точка проходит по дуге окружности путь см. Центральный угол, соответствующий этой дуге . Изображаем точку в этом положении (рис.6).

2. Дифференцируя по времени, получаем выражение относительной скорости точки, а подставив , определим ее значение в заданный момент времени

Вектор направлен по касательной к траектории относительного движения точки.

3. Вычисляем радиус траектории переносного движения точки

4. Находим переносную скорость точки. Переносной скоростью точки является скорость той точки прямоугольной пластинки, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М. Переносная угловая скорость равна

.

Отсюда .

Рис.6

5. Определяем модуль абсолютной скорости точки. Для этого проецируем векторное равенство на подвижные оси координат x и y, жестко связанные с движущейся пластинкой.

Тригонометрические функции угла рассчитываем по формулам

Модуль абсолютной скорости точки

6. Вычисляем относительное ускорение. Ускорение точки, движущейся относительно пластинки по дуге окружности, имеет нормальную и тангенциальную составляющие

Модуль относительного ускорения

Вектор относительного нормального ускорения точки направлен по радиусу окружности к точке С, вектор относительного касательного ускорения направлен по касательной к траектории относительного движения точки в сторону увеличения дуговой координаты КМ, так как (Рис. 7).

Рис.7

7. Вычисляем переносное ускорение точки . Траектория переносного движения точки – окружность радиуса с центром в точке А. Прямоугольник вращается с угловой скоростью и угловым ускорением

Отсюда получаем

Модуль переносного ускорения точки

Вектор переносного центростремительного ускорения направлен по радиусу кривизны к центру кривизны траектории переносного движения, т.е. к точке А. Вектор переносного вращательного ускорения направлен также как и переносная скорость точки , так как знаки переносной угловой скорости и переносного углового ускорения одинаковы.

Рис.8

8. Находим ускорение Кориолиса. Модуль вектора ускорения определяем по формуле , где - угол между векторами переносной угловой скорости и относительной линейной скорости . Вектор перпендикулярен плоскости чертежа, т.е. . Имеем

Направление вектора ускорения Кориолиса получаем по правилу Жуковского – поворотом на вектора относительной скорости точки по направлению переносного вращения, т.е. против часовой стрелки (рис. 8).

9. Находим абсолютное ускорение точки по векторному выражению

,

проецируя его на оси координат. Так как все составляющие вектора абсолютного ускорения точки лежат в плоскости чертежа, то достаточно спроецировать их на две оси и (см. рис. 7).

Находим модуль ускорения

.

Ответы заносим в таблицу. Радиус траектории переносного движения – в , скорость – в , ускорение – в .

Таблица 5

9,44	15,71	28,33	14,21	39,75	87,07	94,25	50,97

Список использованной литературы

1. Кирсанов М.Н. Решебник. Теоретическая механика // Под ред. А.И.Кириллова. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 381 с.

2. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учеб. пособие для технических вузов // Под ред. А.А. Яблонского. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 382 с.

3. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики: Учебник для вузов, – М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 608 с.

4. Курс теоретической механики // Под ред. Колесникова К.С. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 735с.

5. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для вузов, 2003. – 416 с.

Приложение 1

Вариант 1 х= t-2 см; y=(2+2t)^2 см; t1=1 c.	Вариант 7 х= 2-t см; y=2 sin(pt/2) см; t1=1 c.	Вариант 13 х= 4-2t см; y= 1/(2+3t) см; t1=1 c.	Вариант 19 х= 4-2t см; y=2/t см; t1=1 c.	Вариант 25 х= t-1 см; y=2-t^3 см; t1=1 c.
Вариант 2 х= t-4 см; y= 2-t^3 см; t1=1 c.	Вариант 8 х= 3-2t см; y=(2+t)^2 см; t1=1 c.	Вариант 14 х= t-4 см; y= 1/(t+1) см; t1=1 c.	Вариант 20 х=3-t см; y= 1/ t см; t1=1 c.	Вариант 26 х= t см; y=2 cos(tp/6) см; t1=1 c.
Вариант 3 х= 4-2t см; y= (2+3t)^2 см; t1=1 c.	Вариант 9 х= 4-2t см; y= 2t^3 см; t1=1 c.	Вариант 15 х= 2-t^3 см; y= 2-t см; t1=1 c.	Вариант 21 х= t-2 см; y= 1/(2+2t) см; t1=1 c.	Вариант 27 х=2-t см; y=2 cos(pt/2) см; t1=1 c.
Вариант 4 х= t-4 см; y=(t+1)^3 см; t1=1 c.	Вариант 10 х= 3-t см; y= t^3 см; t1=1 c.	Вариант 16 х=2-3 t см; y=3 sin(tp/4) см; t1=1 c.	Вариант 22 х= t-4 см; y=1 /(2-t) см; t1=1 c.	Вариант 28 х=3-2t см; y= 4/(2+t)^2 см; t1=1 c.
Вариант 5 х= 2-t см; y= 2-t^3 см; t1=1 c.	Вариант 11 х= 5t-2 см; y=(3+2t)^2 см; t1=1 c.	Вариант 17 х= 2-t см; y=2 cos(pt/2) см; t1=1 c.	Вариант 23 х= 2 sin (πt/4) см; y= 3 cos (πt/4) см; t1=1 c.	Вариант 29 x=6sin(pt/6) y=4cos(pt/) t1=2 c
Вариант 6 х= 2-t см; y= 2 sin(tp/4) см; t1=1 c.	Вариант 12 х=2t-4 см; y=2-t^2 см; t1=1 c.	Вариант 18 х= (2+t)^2 см; y= 3-2t см; t1=1 c.	Вариант 24 х= 5 sin (πt/3) см; y= -5 cos (πt/3) см; t1=1 c.	Вариант 30 x=4-t см y= (t+1)^2cм t1=2 c

Приложение 2

Вариант 1	Механическая передача состоит из шкива A (RA=40 см, rA=30 см), шкива B(RB=25 см, rB= 10 см), соединенных ремнем, и двух грузов C и D. Груз D опускается с переменной скоростью VD=100t^4 см/с. Найти VC и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 2	Шкив A (RA=40 см, rA=30 см) соединен со шкивом B (RB=25 см, rB= 10 см) ремнем. Груз C опускается с переменной скоростью VC=20t^2 см/с. Найти VD и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 3	Механическая передача состоит из шкива A (RA=40 см, rA=30 см), шкива B(RB=25 см, rB= 10 см), соединенных ремнем, и двух грузов C и D. Груз D опускается с переменной скоростью VD=100t^4 см/с. Найти VC и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 4	Шкив A (RA=40 см, rA=30 см) соединен со шкивом B (RB=25 см, rB= 10 см) ремнем. Груз C опускается с переменной скоростью VC=16t^2 см/с. Найти VD и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 5	Движение шкива A (RA=25 см, rA=15 см) передается ремнем шкиву B(RB=10 см, rB= 8 см). Скорость груза увеличивается VC=24t^3 см/с. Найти VD и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 6	Механическая передача состоит из шкива A (RA=40 см, rA=30 см), шкива B(RB=25 см, rB= 10 см), соединенных ремнем, и двух грузов C и D. Груз D опускается с переменной скоростью VD=40t^4 см/с. Найти VC и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 7	Механическая передача состоит из шкива A (RA=25 см, rA=15 см), шкива B(RB=10 см, rB= 8 см), соединенных ремнем, и двух грузов C и D. Груз D опускается с переменной скоростью VD=32t^4 см/с. Найти VC и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 8	Шкив A (RA=20 см, rA=16 см) соединен со шкивом B (RB=15 см, rB= 5 см) ремнем. Груз C опускается с переменной скоростью VC=10t^2 см/с. Найти VD и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 9	Движение шкива A (RA=30 см, rA=20 см) передается ремнем шкиву B(RB=15 см, rB= 6 см). Скорость груза увеличивается VC=45t^3 см/с. Найти VD и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 10	Шкив A (RA=20 см, rA=16 см) соединен со шкивом B (RB=15 см, rB= 5 см) ремнем. Груз C опускается с переменной скоростью VC=30t^2 см/с. Найти VD и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 11	Механическая передача состоит из шкива A (RA=20 см, rA=16 см), шкива B(RB=15 см, rB= 5 см), соединенных ремнем, и двух грузов C и D. Груз D опускается с переменной скоростью VD=20t^4 см/с. Найти VC и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 12	Движение шкива A (RA=20 см, rA=16 см) передается ремнем шкиву B(RB=15 см, rB= 5 см). Скорость груза увеличивается VC=15t^3 см/с. Найти VD и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 13	Механическая передача состоит из шкива A (RA=30 см, rA=20 см), шкива B(RB=15 см, rB= 6 см), соединенных ремнем, и двух грузов C и D. Груз D опускается с переменной скоростью VD=24t^4 см/с. Найти VC и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 14	Механическая передача состоит из шкива A (RA=25 см, rA=15 см), шкива B(RB=10 см, rB= 8 см), соединенных ремнем, и двух грузов C и D. Груз D опускается с переменной скоростью VD=32t^4 см/с. Найти VC и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 15	Шкив A (RA=30 см, rA=20 см) соединен со шкивом B (RB=15 см, rB= 6 см) ремнем. Груз C опускается с переменной скоростью VC=30t^2 см/с. Найти VD и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 16	Механическая передача состоит из шкива A (RA=25 см, rA=15 см), шкива B(RB=10 см, rB= 8 см), соединенных ремнем, и двух грузов C и D. Груз D опускается с переменной скоростью VD=40t^4 см/с. Найти VC и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 17	Механическая передача состоит из шкива A (RA=40 см, rA=30см), шкива B(RB=25 см, rB= 10 см), соединенных ремнем, и двух грузов C и D. Груз D опускается с переменной скоростью VD=40t^4 см/с. Найти VC и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 18	Шкив A (RA=30 см, rA=20 см) соединен со шкивом B (RB=15 см, rB= 6 см) ремнем. Груз C опускается с переменной скоростью VC=12t^2 см/с. Найти VD и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 19	Механическая передача состоит из шкива A (RA=25 см, rA=15 см), шкива B(RB=10 см, rB= 8 см), соединенных ремнем, и двух грузов C и D. Груз D опускается с переменной скоростью VD=40t^4 см/с. Найти VC и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 20	Механическая передача состоит из шкива A (RA=20 см, rA=16 см), шкива B(RB=15 см, rB= 5 см), соединенных ремнем, и двух грузов C и D. Груз D опускается с переменной скоростью VD=20t^4 см/с. Найти VC и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 21	Движение шкива A (RA=25 см, rA=15 см) передается ремнем шкиву B(RB=10 см, rB= 8 см). Скорость груза увеличивается VC=24t^3 см/с. Найти VD и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 22	Шкив A (RA=25 см, rA=15 см) соединен со шкивом B (RB=10 см, rB= 8 см) ремнем. Груз C опускается с переменной скоростью VC=20t^2 см/с. Найти VD и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 23	Шкив A (RA=25 см, rA=15 см) соединен со шкивом B (RB=10 см, rB= 8 см) ремнем. Груз C опускается с переменной скоростью VC=16t^2 см/с. Найти VD и aM через 1 с после начала движения
Вариант 24	Шкив A (RA=20 см, rA=16 см) соединен со шкивом B (RB=10 см, rB= 5 см) ремнем. Груз C опускается с переменной скоростью VC=30t^2 см/с. Найти VD и aM через 1 с после начала движения
Вариант 25	Механическая передача состоит из шкива A (RA=30 см, rA=20 см), шкива B(RB=15 см, rB= 6 см), соединенных ремнем, и двух грузов C и D. Груз D опускается с переменной скоростью VD=60t^4 см/с. Найти VC и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 26	Шкив A (RA=40 см, rA=30 см) соединен со шкивом B (RB=25 см, rB= 10 см) ремнем. Груз C опускается с переменной скоростью VC=20t^2 см/с. Найти VD и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 27	Шкив A (RA=30 см, rA=20 см) соединен со шкивом B (RB=15 см, rB= 6 см) ремнем. Груз C опускается с переменной скоростью VC=12t^2 см/с. Найти VD и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 28	Шкив A (RA=30 см, rA=20 см) соединен со шкивом B (RB=15 см, rB= 6 см) ремнем. Груз C опускается с переменной скоростью VC=12t^2 см/с. Найти VD и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 29	Движение шкива A (RA=40 см, rA=30 см) передается ремнем шкиву B(RB=25 см, rB= 10 см). Скорость груза увеличивается VC=30t^3 см/с. Найти VD и aM через 1 с после начала движения.
Вариант 30	Механическая передача состоит из шкива A (RA=20 см, rA=16 см), шкива B(RB=15 см, rB= 5 см), соединенных ремнем, и двух грузов C и D. Груз D опускается с переменной скоростью VD=60t^4 см/с. Найти VC и aM через 1 с после начала движения.

Приложение 3

Приложение 4

Содержание

Задание К-1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения 3

Задание К-2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях. 5

Задание К-4. Кинематический анализ многозвенного механизма. 7

Задание К-7. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки при сложном движении 11

Список литературы.. 17

Приложение 1. 18

Приложение 2. 19

Приложение 3. 24

Приложение 4. 28

Содержание. 31

Составитель: Александр Владимирович Белов

Наталья Георгиевна Неумоина

Александр Петрович Иващенко

КИНЕМАТИКА

Методические указания

к практическим занятиям

по дисциплине «Теоретическая механика»

Под редакцией авторов

Темплан 2011 г., поз. № _______

Подписано в печать _____. Формат ____________.

Бумага потребительская. Гарнитура «Times».

Усл. печ. л. _____. Усл. авт. л. _____

Тираж _____экз. Заказ _____.

Волгоградский государственный технический университет.

400131 Волгоград, просп. им. В.И. Ленина, 28.

РПК «Политехник»

Волгоградского государственного технического университета.

400131 Волгоград, ул. Советская, 35.

Дата добавления: 2015-07-07