Означення рівно потужних, нескінченних, зчисленних множин.

Означення. Множини Х і Y називаються рівнопотужними, якщо вони або порожні, або між ними встановлено взаємно однозначну відповідність.

Позначається рівнопотужність множин:

Якщо множина Х рівнопотужна множині Y, то записують так:

Рівнопотужність множин має свої характерні властивості:

1) Рефлективність: Будь яка множина рівнопотужна сама собі.

2) Симетричність:

3) Транзитивність:

Так як відношення рівнопотужності має властивості рефлективності, симетричності і транзитивності, то воно є відношенням еквівалентності.

Рівнопотужні множини можуть бути як скінченними так і нескінченними. Якщо множини скінченні і рівнопотужні, то вони мають однакову кількість елементів. Якщо множини Х та Y скінченні і множина Х рівнопотужна множині Y, то .

Якщо множини нескінченні і рівнопотужні, то частина множини може бути рівнопотужною всій множині.

Наприклад. 1) Множина А = {1,2,3,4}, множина букв у слові «урок», множина, що містить чотири геометричні фігури – все це рівнопотужні множини. Вони містять однакову кількість елементів.

2) Множина натуральних чисел і її підмножина – множина непарних натуральних чисел. Поставимо у відповідність кожному натуральному числу n непарне число 2 n – 1. Ця відповідність взаємно однозначна: кожному натуральному числу відповідає єдине непарне число і кожне непарне число відповідає єдиному натуральному числу. Отже, , тобто множина натуральних чисел і множина непарних натуральних чисел, яка є підмножиною множини натуральних чисел, рівнопотужні.

Довгий час вважали, що всі нескінченні множини рівнопотужні між собою. В 70-80-х роках XIX ст. видатний німецький математик Г.Кантор (1845-1918) встановив, що серед нескінченних множин є безліч нерівнопотужних між собою множин і що всі нескінченні множини також можна розбити на класи рівнопотужних множин.

Найменша нескінченна потужність – це потужність множини натуральних чисел.

Будь-яка множина називається зчисленною, якщо вона рівнопотужна множині натуральних чисел.

Наприклад: множина усіх квадратів натуральних чисел називається зчисленною, бо вона рівнопотужна множині натуральних чисел. Множина усіх натуральних чисел, кратних k, множина цілих чисел, множина раціональних чисел також зчисленні. Між ними і множиною натуральних чисел можна встановити взаємно однозначну відповідність.

Г.Кантор довів, що множина дійсних чисел на відрізку не рівнопотужна множині натуральних чисел N і має більшу потужність, ніж потужність множини N.

Користуючись поняттям рівнопотужності множин, можна уточнити поняття скінченної і нескінченної множин.

Означення. Множина А називається скінченною, якщо в ній жодним способом не можна виділити правильної частини В, рівнопотужної всій множині А. Якщо в А можна виділити рівнопотужну їй правильну частину В, то тоді А називається нескінченною множиною.

Це означення розкриває найхарактернішу відмінність між скінченними й нескінченними множинами. Не слід ототожнювати нескінченну множину і скінченну множину, яка містить дуже багато елементів.

Дата добавления: 2015-07-10