Непрерывность функции.

6.1. Односторонние пределы

- точка прикосновения .

- сужение функции на множество .

.

Предел слева функции в точке :

.

Предел справа функции в точке :

Пример:

Связь существования конечного предела функции с существованием односторонних пределов.

Т. Пусть функция , - точка прикосновения , тогда

1) если , то

2) если , то

Доказательство:

п. 1) ()

, пусть (по определению) (по определению) .

Аналогично , ч.т.д.

()

Пусть (1)

(2)

Зафиксируем . Из (1) .

Из (2) .

Если , то неравенство выполняется для , кроме , но т.к. , то , значит , ч.т.д.

п. 2) ()

, пусть . Из п.1. .

По определению по Гейне: (стационарная последовательность)

, ч.т.д.

()

выполняется (из п.1.) , кроме .

Пусть - верно, значит выполняется , значит , ч.т.д.

6.2. Определение непрерывности функции в точке.

Функция непрерывна в точке , если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке.

непрерывна в точке

Через односторонние пределы:

непрерывна в точке

По Коши:

непрерывна в точке

По Гейне:

непрерывна в точке

Через приращение функции:

- приращение переменной

- приращение функции

непрерывна в точке .

Пример 1: непрерывна в .

- верно.

Пример 2:

, ч.т.д.

Свойства непрерывных функций

Сумма, произведение, частное, композиция непрерывных функций есть непрерывная функция.

6.3. Точки разрыва функции и их классификация.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме быть может самой точки , тогда точка называется точкой разрыва функции , если функция либо не определена в этой точке, либо не является точкой непрерывности.

Если - точка разрыва, то она будет точкой разрыва I рода, если существуют конечные односторонние пределы в этой точке.

Пример 1:

- точка разрыва I рода.

Пример 2:

- точка разрыва.

- точка разрыва I рода.

Точка разрыва I рода называется скачком.

Частный случай точки разрыва I рода: если - точка разрыва и пределы слева и справа одинаковы, то это точка устранимого разрыва.

Пример:

- точка устранимого разрыва.

Точка разрыва является точкой разрыва II рода, если она не является точкой разрыва I рода: или один или оба из односторонних пределов бесконечные, либо предел вообще не существует.

Пример 1:

- точка разрыва II рода.

Пример 2:

предел при не существует, т.к.

нет одного предела, значит предел не существует, значит - точка разрыва II рода.

6.4. Непрерывность функции на множестве.

Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Свойства функций непрерывных на отрезке.

Т.1. Первая теорема Больцано-Коши.

Если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри этого отрезка найдется точка, в которой функция обращается в нуль.

Пусть непрерывна на , , тогда .

Доказательство:

Пусть .

Поделим отрезок пополам: .

Обязательно найдется отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков.

- отрезок, из этих двух, на концах которого .

Пусть . Длина равна .

Делим пополам отрезок . Выбираем из двух такой отрезок, на концах которого значения функции имеют разные знаки, обозначим его .

, Длина равна , и т.д.

На -том шаге отрезок :

. Длина равна при .

Получили - систему вложенных стягивающихся отрезков. Из теоремы о вложенных отрезках следует, что

, значит , ч.т.д.

Можно приближенно искать корни уравнений.

возрастает, значит уравнение имеет не долее одного корня .

и т.д.

Т.2. Вторая теорема Больцано-Коши.

Если функция непрерывна на отрезке , то она принимает любое промежуточное значение между и .

Пусть непрерывна, тогда .

Доказательство:

Введем вспомогательную функцию .

, ч.т.д.

Т.3. Теорема Вейерштрасса.

Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке и достигает на нем своих точных верхней и нижней граней.

Докажем, что существует конечный .

Пусть функция непрерывна на , тогда , .

Доказательство:

Обозначим (либо конечный, либо ). Докажем, что достигается, т.е. .

Рассмотрим последовательность такую, что .

По определению : и .

Т.о., .

Т.к. - ограничена.

Можно выбрать сходящуюся подпоследовательность: при , .

Функция непрерывна на отрезке, значит, непрерывна в точке , значит значение .

.

При , , значит , - конечное, т.к. , ч.т.д.

Замечание 1: Следствие из Т.2. и Т.3.: Непрерывная функция на отрезке принимает все промежуточные значения между и .

Замечание 2: Все условия Т.3. существенны, т.е. нельзя ни одно из них выкинуть.

Пример 1:

не ограничена

Пример 2:

не ограничена

6.5. Непрерывность основных элементарных функций.

Основные элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Непрерывность можно доказывать непосредственно через определение (). Также можно доказывать исходя из следующих теорем.

Т.1. Если функция монотонно возрастает (или убывает) на промежутке и множество значений ее также является промежутком , тогда функция будет непрерывна на промежутке .

Т.2. О непрерывности обратной функции.

Пусть , - данный промежуток, (или ) и непрерывна на , тогда

1) - промежуток,

2) существует обратная функция ,

3) (или ) на ,

4) непрерывна на .

Пример 1:

, , значит из Т.1. функция непрерывна.

Из Т.2. следует, что - непрерывная.

Пример 2:

на

на

По Т.1. - непрерывна на каждом промежутке, значит непрерывна на всей области определения.

Дата добавления: 2015-07-10