Точки разрыва и их типы (классификация).

О непрерывности функции.

] 1) на , и , 2) .

def 1. Если

(1)

то говорят, что f(x) непрерывна в точке и пишут . Таким образом,

Определение (1) можно высказать на языке (по Коши).

def 2. , если ; геометрически (см. рис 1).

Введем обозначения:

- приращение аргумента.

(2)

(2) - приращение f(x) в т. .

Рис.1

def 2a (по Гейне). , если и пишут .

Используя обозначения (2), (1) перепишем:

: (3)

def 3. , если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение f(x) в т. .

Замечание. Высказанные определения непрерывности 1, 2, 2а, 3 эквивалентны, что следует из самих определений.

Важное замечание. Из следует, что в точке и её некоторой окрестности. Действительно:

Из def 2 , что

, т.е. или (в том числе и ) - геометрическая интерпретация .

Точки разрыва и их типы (классификация).

def 4. Если , то т. называется точкой разрыва f(x).

Различают точки разрыва: 1, 2 рода и “устранимая” точка разрыва.

1) , но

(4)

Рис.2

тогда т. называется точкой разрыва 1 рода, а

(5)

называется скачком f(x) в т. .

Внимание: не обязательно или .Пример:

Точка - точка разрыва первого рода, ибо и

2) Если один из пределов не существует или бесконечно большой (), то точка называется точкой разрыва 2-го рода.

3) , но не определена (например, в точке 0 не определена), то в этом случае т. называется “устранимой” точкой разрыва.

Примеры.

1. ]

Задача: Исследовать точки x = 0, x =1, где f(x) меняет свой аналитический вид.

а) ] x=1:

Таким образом, , но , причем . Это означает, что точка x=1 - точка разрыва 1-го рода и - скачок f(x) в т. .

б) ] x=0:

Так как , то x=0 – точка разрыва 2-го рода.

2. .

Функция , (т.е. ).

Но не существует. ()

Введем

(6)

. Это означает, что , а точка x=0 – “устранимая” точка разрыва для .

def 5. , тогда говорят, что f(x) непрерывна справа в т. и пишут:

или ().

def 6. , тогда говорят, что f(x) непрерывна слева в т. и пишут:

или ().

def 7. и и , [ говорят, что f(x) непрерывна на [a,b] и пишут:

.

Пример 3. Исследовать на непрерывность:

(7)

Решение.

1. Заметим, что:

а) .

б) .

в) .

2. Исследуем точки , где

Имеем:

причем , т.е. .

5. Но , т.е. , причем точки x=n – точки разрыва 1-го рода. (, но ).

Таким образом, для [x]: , т.x=n – точки разрыва 1-го рода.

Дата добавления: 2015-07-10