Зависимое от времени уравнение

Наиболее общая форма уравнения Шрёдингера — это форма, включающая зависимость от времени^[1]:

Зависимое от времени уравнение (общий случай)

Пример нерелятивистского уравнения Шрёдингера для частицы, движущейся в потенциальном поле, описываемом потенциалом :

Зависящее от времени уравнение Шрёдингера

С возрастанием n увеличивается среднее расстояние электрона от ядра, уменьшается сила притяжения, поэтому энергия орбитали повышается (связь электрона с ядром ослабевает). При данном значении n орбитали с различным l будут иметь различную энергию, причем с возрастанием l энергия орбиталей увеличивается. Например, энергетически 2s < 2p, а 3s

< 3p < 3d.

Число состояний с одинаковой энергией в многоэлектронном атоме уменьшается по сравнению с атомом водорода, поскольку вырождение по l снимается (остается по ml и ms).

Экранирование заряда ядра электронами. Электроны расположенные на внутренних атомных орбиталях, ослабляют электрическое поле ядра. Вследствие этого на внешние электроны действует как бы меньший, чем Z, положительный заряд ядра, называемый эффективным зарядом. Экранирование растет с увеличением числа электронных слоев, т.е. главного квантового числа n. Например, на внешний электрон атома лития (2s1) и натрия (3s1) действуют эффективные заряды, равные соответственно

1,3 и 2,2. В первом случае заряд ядра нейтрализован на 53 %, во втором - на 80 %. Экранирование приводит к ослаблению кулоновского притяжения, повышению энергии орбиталей.

Эффект проникновения. Как известно, вероятность обнаружить электрон в любой точке атома отлична от нуля. Это относится и к внешним электронам. Они могут проникнуть через электронный остов к ядру, что приводит к усилению кулоновского притяжения, увеличению энергии связи, снижению энергии орбитали. Эффект проникновения противоположен экранированию. Экспериментально установлено, что эффект проникновения максимален для s-электронов (l = 0),меньше для p- электронов (l = 1), слабо выражен у d-электронов (l = 2) и практически не проявляется у f-электронов. Поэтому энергия подуравней при данном n растет с увеличением l. Эффект проникновения, кроме того, более значителен для тяжелых атомов.

Таким образом, энергия орбиталей многоэлектронном атоме определяется факторами, действующими одновременно и часто противоположным образом. Именно поэтому для различных огоэлектронных атомов энергия одних и тех же орбиталей может существенно отличаться. Общим для всех атомов является то, что энергия ns-орбиталей лежит выше (n-1) p- и близка к энергии (n-1)d- и (n-2)f-орбиталей.

Магни́тное ква́нтовое число́ — параметр, который вводится при решении уравнения Шрёдингера для электрона в водородоподобном атоме (и вообще для любого движения заряженной частицы).

В 1896 году голландский физик Питер Зееман поместил в сильное магнитное поле устройство, аналогичное водородной лампе, но наполненное парами раскаленного натрия (Фарадей ставил аналогичный эксперимент в 1862 г. и потерпел неудачу). Обнаружилось, что в магнитном поле число линий в спектрах испускания возрастает. Спектры становятся сложными, но можно показать, что каждая p-линия распадается в магнитном поле на 3 новых линии, каждая d-линия — на 5, каждая f-линия — на 7 линий, а s-линии не изменяются. Поскольку орбитали атома становятся «видны» только в магнитном поле, очередное квантовое число, записывающее «адрес» орбитали в атоме, назвали магнитным квантовым числом m. Это квантовое число принимает целые значения от -l до +l (где l — орбитальное квантовое число), то есть имеет ровно столько значений, сколько орбиталей существует на каждом подуровне.

Магнитное квантовое число (m) характеризует ориентацию в пространстве орбитального момента количества движения электрона или пространственное расположение атомной орбитали. Каждое из 2 l +1 возможных значений магнитного квантового числа определяет проекцию вектора орбитального момента на данное направление (обычно ось z). Проекция орбитального момента импульса на ось z равна Поскольку с орбитальным моментом связан магнитный момент, магнитное квантовое число, в частности, определяет проекцию орбитального магнитного момента водородоподобного атома на направление магнитного поля и служит причиной расщепления спектральных линий атома в магнитном поле (см. Эффект Зеемана).

Иногда магнитное квантовое число определяют для проекции любого момента частицы (орбитального L, спинового S, суммарного J=L+S). В этом случае оно принимает соответственно 2 L +1, 2 S +1, 2 J +1 значений. Для проекций спинового и суммарного моментов магнитное квантовое число может быть полуцелым.

Магнитное квантовое число в переходах между уровнями может изменяться лишь на определенное значение, устанавливаемое правилами отбора для данного типа перехода.

Спин (от англ. spin — вертеть[-ся], вращение) — собственный момент импульса элементарных частиц, имеющий квантовую природу и не связанный с перемещением частицы как целого. Спином называют также собственный момент импульса атомного ядра или атома; в этом случае спин определяется как векторная сумма (вычисленная по правилам сложения моментов в квантовой механике) спинов элементарных частиц, образующих систему, и орбитальных моментов этих частиц, обусловленных их движением внутри системы.

Спин измеряется в единицах ħ (приведённой постоянной Планка, или постоянной Дирака) и равен где J — характерное для каждого сорта частиц целое (в том числе нулевое) или полуцелое положительное число — так называемое спиновое квантовое число, которое обычно называют просто спином (одно из квантовых чисел).

В связи с этим говорят о целом или полуцелом спине частицы.

Существование спина в системе тождественных взаимодействующих частиц является причиной нового квантовомеханического явления, не имеющего аналогии в классической механике: обменного взаимодействия.

Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории

Зонная теория твердых тел позволила с единой точки зрения истолковать существование металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя различие в их электрических свойствах, во-первых, неодинаковым заполнением электронами разрешенных зон и, во-вторых, шириной запрещенных зон.

Степень заполнения электронами энергетических уровней в зоне определяется заполнением соответствующих атомных уровней. Если при этом какой-то энергетический уровень полностью заполнен, то образующаяся энергетическая зона также заполнена целиком. В общем случае можно говорить о валентной зоне, которая полностью заполнена электронами и образована из энергетических уровней внутренних электронов свободных атомов, и о зоне проводимости (свободной зоне), которая либо частично заполнена электронами, либо свободна и образована из энергетических уровней внешних «коллективизированных» электронов изолированных атомов.

В зависимости от степени заполнения зон электронами и ширины запрещенной зоны возможны четыре случая, изображенные на рис. 314. На рис. 314, а самая верхняя зона, содержащая электроны, заполнена лишь частично, т. е. в ней имеются вакантные уровни. В данном случае электрон, получив сколь угодно малую энергетическую «добавку» (например, за счет теплового движения или электрического поля), сможет перейти на более высокий энергетический уровень той же зоны, т. е. стать свободным и участвовать в проводимости. Внутризонный переход вполне возможен, так как, например, при 1 К энергия теплового движения kT»10–4 эВ, т. е. гораздо больше разности энергий между соседними уровнями зоны (примерно 10–22 эВ). Таким образом, если в твердом теле имеется зона, лишь частично заполненная электронами, то это тело всегда будет проводником электрического тока. Именно это свойственно металлам.

Твердое тело является проводником электрического тока и в том случае, когда валентная зона перекрывается свободной зоной, что в конечном счете приводит к не полностью заполненной зоне (рис. 314, б). Это имеет место для щелочноземельных элементов, образующих II группу таблицы Менделеева (Be, Mg, Ca, Zn,...). В данном случае образуется так называемая «гибридная» зона, которая заполняется валентными электронами лишь частично. Следовательно, в данном случае металлические свойства щелочноземельных элементов обусловлены перекрытием валентной и свободной зон.

Помимо рассмотренного выше перекрытия зон возможно также перераспределение электронов между зонами, возникающими из уровней различных атомов, которое может привести к тому, что вместо двух частично заполненных зон в кристалле окажутся одна полностью заполненная (валентная) зона и одна свободная зона (зона проводимости). Твердые тела, у которых энергетический спектр электронных состояний состоит только из валентной зоны и зоны проводимости, являются диэлектриками или полупроводниками в зависимости от ширины запрещенной зоны DЕ. Один из двух математических маятников совершил 10 колебаний, а другой за это же время – 6 колебаний. Разность длин маятников составляет 16 см. Определите длины маятников. Результат представьте в единицах СИ.

Если ширина запрещенной зоны кристалла порядка нескольких электрон-вольт, то тепловое движение не может перебросить электроны из валентной зоны в зону проводимости и кристалл является диэлектриком, оставаясь им при всех реальных температурах (рис. 314, в). Если запрещенная зона достаточно узка (DЕ порядка 1 эВ), то переброс электронов из валентной зоны в зону проводимости может быть осуществлен сравнительно легко либо путем теплового возбуждения, либо за счет внешнего источника, способного передать электронам энергию DЕ, и кристалл является полупроводником (рис. 314, г).

Различие между металлами и диэлектриками с точки зрения зонной теории состоит в том, что при 0 К в зоне проводимости металлов имеются электроны, а в зоне проводимости диэлектриков они отсутствуют. Различие же между диэлектриками и полупроводниками определяется шириной запрещенных зон: для диэлектриков она довольно широка (например, для NaCl DЕ=6 эВ), для полупроводников — достаточно узка (например, для германия DЕ=0,72 эВ). При температурах, близких к 0 К, полупроводники ведут себя как диэлектрики, так как переброса электронов в зону проводимости не происходит. С повышением температуры у полупроводников растет число электронов, которые вследствие теплового возбуждения переходят в зону проводимости, т. е. электрическая проводимость проводников в этом случае увеличивается.

Удельное сопротивление, а следовательно, и сопротивление металлов, зависит от температуры, увеличиваясь с ее ростом. Температурная зависимость сопротивления проводника объясняется тем, что

1. возрастает интенсивность рассеивания (число столкновений) носителей зарядов при повышении температуры;
2. изменяется их концентрация при нагревании проводника.

Опыт показывает, что при не слишком высоких и не слишком низких температурах зависимости удельного сопротивления и сопротивления проводника от температуры выражаются формулами:

ρt = ρ 0(1+ αt),

Rt = R 0(1+ αt),

где ρ ₀, ρ _t — удельные сопротивления вещества проводника соответственно при 0 °С и t °C; R ₀, R _t — сопротивления проводника при 0 °С и t °С, α — температурный коэффициент сопротивления: измеряемый в СИ в Кельвинах в минус первой степени (К^-1). Для металлических проводников эти формулы применимы начиная с температуры 140 К и выше.

Температурный коэффициент сопротивления вещества характеризует зависимость изменения сопротивления при нагревании от рода вещества. Он численно равен относительному изменению сопротивления (удельного сопротивления) проводника при нагревании на 1 К.

hαi =1⋅Δ ρρ Δ T,

где hαi — среднее значение температурного коэффициента сопротивления в интервале Δ Τ.

Для всех металлических проводников α > 0 и слабо изменяется с изменением температуры. У чистых металлов α = 1/273 К^-1. У металлов концентрация свободных носителей зарядов (электронов) n = const и увеличение ρ происходит благодаря росту интенсивности рассеивания свободных электронов на ионах кристаллической решетки.

Для растворов электролитов α < 0, например, для 10%-ного раствора поваренной соли α = -0,02 К^-1. Сопротивление электролитов с ростом температуры уменьшается, так как увеличение числа свободных ионов из-за диссоциации молекул превышает рост рассеивания ионов при столкновениях с молекулами растворителя.

Формулы зависимости ρ и R от температуры для электролитов аналогичны приведенным выше формулам для металлических проводников. Необходимо отметить, что эта линейная зависимость сохраняется лишь в небольшом диапазоне изменения температур, в котором α = const. При больших же интервалах изменения температур зависимость сопротивления электролитов от температуры становится нелинейной.

Графически зависимости сопротивления металлических проводников и электролитов от температуры изображены на рисунках 1, а, б.

Рис. 1

При очень низких температурах, близких к абсолютному нулю (-273 °С), сопротивление многих металлов скачком падает до нуля. Это явление получило название сверхпроводимости. Металл переходит в сверхпроводящее состояние.

Зависимость сопротивления металлов от температуры используют в термометрах сопротивления. Обычно в качестве термометрического тела такого термометра берут платиновую проволоку, зависимость сопротивления которой от температуры достаточно изучена.

Об изменениях температуры судят по изменению сопротивления проволоки, которое можно измерить. Такие термометры позволяют измерять очень низкие и очень высокие температуры, когда обычные жидкостные термометры непригодны.

Еще Фарадей установил, что все вещества, будучи помещенными во внешнее магнитное поле, намагничиваются. По степени намагничивания их делят на две группы - слабые и сильные магнетики. К слабым магнетикам относятся диамагнетики и парамагнетики.

Диамагнетики - это вещества, у которых магнитные моменты ядер и электронов в атомах скомпенсированы и полный магнитный момент каждого атома равен нулю. Под действием внешнего магнитного поля у атомов диамагнетиков индуцируется магнитный момент , который пропорционален величине внешнего поля и противоположен по направлению вектору . Таким образом, диамагнетик во внешнем поле намагничивается, но его магнитная восприимчивость отрицательна, а магнитная проницаемость меньше единицы. По порядку величины магнитная восприимчивость диамагнитных газов лежит в области |10^-9÷10^-8|, а у жидких и твердых диамагнетиков |10^-6÷10^-5|. На диамагнетик со стороны внешнего магнитного поля действует сила, которая выталкивает диамагнетик в область более слабого поля.

Рассмотрим поведение висмутового стержня во внешнем неоднородном магнитном поле.

a)

б)

в)
Рис. 2.6

Возьмем стержень из диамагнитного вещества и подвесим его между полюсами электромагнита, как показано рис. 2.6а. Кружки в стержне - это атомы диамагнетика с нулевым магнитным моментом. Подадим питание на катушки электромагнита. Между наконечниками возникнет неоднородное магнитное поле , и диамагнетик намагнитится. Индуцированные магнитные моменты атомов (они показаны стрелками) будут ориентированы против магнитного поля (рис. 2.6б). Но на суммарный магнитный момент диамагнетика во внешнем неоднородном поле действует сила:

,

где .

Несимметричности внешнего поля, ориентации и формы диамагнетика приведут к тому, что силы и будут отличаться друг от друга численно и не будут лежать на одной прямой. Вследствие этого диамагнетик начнет поворачиваться вокруг оси подвеса и перемещаться в поле . Движение стержня будет продолжаться до тех пор, пока силы и не уравновесят друг друга (рис. 2.6в).

Отметим лишний раз, что при любом положении диамагнетика индуцированные магнитные моменты его атомов всегда ориентированы против .

Парамагнетики - это вещества, атомы которых имеют ненулевые магнитные моменты . Но в обычном состоянии эти магнитные моменты ориентированы хаотично и полный магнитный момент парамагнитного тела равен нулю, т.е. парамагнетик не намагничен. При помещении парамагнетика во внешнее магнитное поле магнитные моменты его атомов ориентируются по полю, т.е. , и парамагнетик намагничивается. Магнитная восприимчивость парамагнетика , а магнитная проницаемость μ _n >1. По порядку величины восприимчивость парамагнитных газов лежит в области (10^-7÷10^-6), а у жидких и твердых парамагнетиков (10^-6÷10^-4). Со стороны внешнего магнитного поля на парамагнетик действует сила, которая втягивает парамагнетик в область более сильного поля.

Рассмотрим поведение парамагнитного стержня, подвешенного на нити в неоднородном внешнем магнитном поле .

a)

б)

в)
Рис. 2.7

Возьмем стержень из парамагнетика и подвесим его между полюсами электромагнита, как показано на рисунке 2.7а. Кружки со стрелочками внутри стержня - это атомы парамагнетика с хаотически ориентированными магнитными моментами . При подаче питания на катушки электромагнита между его наконечниками возникает неоднородное магнитное поле . Под действием поля магнитные моменты атомов ориентируются так, что и парамагнетик намагничивается (рис. 2.7б), но на суммарный магнитный момент парамагнетика со стороны внешнего магнитного поля действует сила .

Несимметричности внешнего поля, ориентации подвеса и формы тела приведут к тому, что силы и будут отличаться друг от друга численно и по направлению. Вследствие этого парамагнетик начнет поворачиваться вокруг оси подвеса и перемещаться в поле . Вращение стержня будет происходить до тех пор, пока силы и не будут находиться на одной прямой (рис. 2.7в). Но т.к. , то парамагнетик под действием большей из них силы притянется к наконечнику электромагнита.

Диа- и парамагнетики называются слабыми магнетиками, т.к. их магнитные восприимчивости имеют значения |10^-9÷10^-4|, и при комнатных температурах упорядоченное направление после намагничивания парамагнетика достаточно легко разрушается тепловым хаотическим движением атомов, т.е. парамагнетик размагничивается. Другими словами, магнитная проницаемость μ у слабых магнетиков мало отличается от единицы.

Вещества, у которых магнитная проницаемость во много раз больше единицы, называют ферромагнетиками. К ним относят железо, никель, кобальт и многие сплавы.
Во внешнем магнитном поле ферромагнитный образец ведет себя подобно парамагнитному. Однако магнитная проницаемость ферромагнетика зависит от напряженности внешнего магнитного поля и изменяется в довольно широких пределах, вследствие чего зависимость является нелинейной. Впервые зависимость от Н экспериментально исследовал А.Г. Столетов.
Значение магнитной проницаемости у некоторых ферромагнитных сплавов достигает десятков тысяч. Поэтому ферромагнетики относят к сильномагнитным веществам.
Для каждого ферромагнетика существует определенная температура, называемая точкой Кюри, при нагревании выше которой данное вещество теряет ферромагнитные свойства и превращается в парамагнетик (для железа 1043 К, для никеля 631 К).
МАГНИТНЫЙ ГИСТЕРЕЗИС
Явление запаздывания изменения магнитной индукции в ферромагнетике относительно изменения напряженности внешнего магнитного поля, приводящее к неоднозначной зависимости В от Н, называют магнитным гистерезисом.
Вследствие гистерезиса при убывании Н до нуля образец полностью не размагничивается. Значение Вос называют остаточной индукцией.
Чтобы полностью размагнитить образец, изменяют направление внешнего магнитного поля на противоположное. Тогда при определенной напряженности (точка - Нк) индукция В становится равной нулю.
Значение напряженности Нк внешнего магнитного поля, которое необходимо приложить к образцу для полного его размагничивания, называют коэрцитивной силой.
При дальнейшем увеличении Н образец вновь начинает намагничиваться (в противоположном направлении) до насыщения (точка С2).
При уменьшении внешнего магнитного поля до нуля опять обнаруживается существование в образце остаточной индукции (точка - Вос), а при последующем изменении направления внешнего поля на противоположное и увеличении его напряженности можно вновь полностью размагнитить образец (точка Нк).

Фоно́н — квазичастица, введённая советским учёным Игорем Таммом. Фонон представляет собой квант колебательного движения атомов кристалла.

Концепция фонона оказалась очень плодотворной в физике твёрдого тела. В кристаллических материалах атомы активно взаимодействуют между собой, и рассматривать в них такие термодинамические явления, как колебания отдельных атомов, затруднительно — получаются огромные системы из триллионов связанных между собой линейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы звуковых волн, квантами которых и являются фононы. Спин фонона равен нулю (в единицах ). Фонон принадлежит к числу бозонов и описывается статистикой Бозе-Эйнштейна. Фононы и их взаимодействие с электронами играют фундаментальную роль в современных представлениях о физике сверхпроводников, процессах теплопроводности, процессах рассеяния в твердых телах. Модель кристалла металла можно представить как совокупность гармонически взаимодействующих осцилляторов, причем наибольший вклад в их среднюю энергию дают колебания низких частот, соответствующие упругим волнам, квантами которых и являются фононы.

Теплоемкость твердого тела зависит от температуры, особенно при низких температурах, однако в области комнатных температур и выше, множество твердых тел имеют примерно постоянную теплоемкость (закон Дюлонга — Пти). Переход к устойчивой зависимости теплоемкости от температуры происходит при характерной для каждого материала температуре Дебая. От температуры зависят также другие характеристики твердотельных материалов, в частности механические: пластичность, текучесть, прочность, твердость.

Дата добавления: 2015-07-10