Тепловое излучение.

Читайте также:

Квантовая природа излучения

Введение.

К концу XIX столетия в физике сложилась картина кажущегося благополучия:

1) классическая (ньютоновская) механика приобрела законченный вид и хорошо описывала

динамику

движения частиц и тел;

2) статистические методы довершали построение теории объектов, состоящих из большого

числа частиц, и

приводили к обоснованию эмпирических законов – термодинамики.

3) победила волновая теория света (интерференция; дифракция; опыт Фуко (1850 г.), показавший, как и

предсказывала волновая теория, что скорость света в воде ; измеренная скорость света совпала

с вычисленной скоростью распространения электромагнитных волн).

Казалось, что оставалось лишь несколько нерешенных непринципиальных проблем, что требуется еще небольшое усилие и физическая картина мира будет вполне ясна.

Что же это за проблемы? К примеру,

1) Фотоэффект (1887 г. – Герц).

2) Линейчатые спектры излучения, полосатые спектры (1885 г. – Бальмер).

3) Стабильность и размер атома.

4) Тепловое излучение.

С обсуждения проблемы теплового излучения мы и начнем работу в этом разделе современной физики.

Тепловое излучение.

Тепловое излучение – испускание электромагнитных волн за счет внутренней энергии тела.

Тепловое (температурное) излучение происходит при любой температуре тела и имеет сплошной спектр, положение максимума которого зависит от температуры вещества.

При невысоких температурах c заметной интенсивностью излучаются лишь длинные электромагнитные волны (инфракрасная область спектра). С повышением температуры возрастает общая энергия испускаемого теплового излучения, а максимум перемещается в область малых длин волн. Это экспериментально установленные факты. Тепловое излучение испускает, например, поверхность накаленного металла, земная атмосфера, кожный покров человека и т.д.

Остальные виды излучения, возбуждаемые за счет любого вида энергии, кроме внутренней, называются люминесценцией. Люминесцентное излучение всегда неравновесно.

Тепловое излучение может быть равновесным.

I. Равновесное излучение.

Рассмотрим тело, окруженное идеально отражающей вакуумированной оболочкой.

Пусть тело находится при температуре Т и, следовательно, излучает. Отраженное

оболочкой излучение, упав на тело, частично или полностью поглотиться. Т.о., за счет

отражения будет происходить непрерывный обмен энергией: излучение

отражение поглощение излучение …

Равновесное излучение – процесс, в котором распределение энергии между телом

и излучением остается неизменным во времени для каждой длины волны.

Другими словами, сколько на данной длине волны излучается, столько и поглощается.

Такое состояние системы «тело + излучение» равновесно, поэтому к ней могут быть применены законы термодинамики.

Свойства равновесного излучения:

1) не зависит от материала излучающего тела и его формы;

2) зависит только от температуры тела, которая определяет его спектральный состав и интенсивность;

3) однородно, изотропно, неполяризовано.

Вообще говоря, можно формально рассматривать равновесное излучение отдельно от тела, с которым оно находится в равновесии, и характеризовать его плотностью энергии излучения.

II. Количественные характеристики излучения.

Количественные характеристики теплового излучения аналогичны характеристикам в фотометрии, поскольку, по сути, речь идет об одном и том же предмете.

Итак: энергетическая светимость, испускательная способность, плотность энергии излучения, поглощательная способность.

Определим два способа характеристики равновесного теплового излучения:

Через равновесие с телом,

как количество энергии, испускаемое с единицы поверхности тела в единицу времени

1. Энергетическая светимость

поток энергии, испускаемый единицей поверхности тела по всем направлениям, т.е. в телесный угол .

Размерность: = = или .

Без тела,

как количество энергии, содержащееся в единице объема пространства

1. Плотность энергии излучения .

энергия, содержащаяся в единице объема пространства.

Размерность: = или .

Приведенные выше характеристики являются интегральными, т.е. просуммированы по всем частотам () или длинам () электромагнитных волн.

Спектральные характеристики теплового излучения:

2. Испускательная способность тела

где – поток энергии, испускаемый единицей поверхности в интервале частот от до .

Размерность: [ ]= = или

При этом связь между испускательной способностью и энергетической светимостью:

2. Спектральная плотность энергии излучения

где – энергия единицы объема, определяемая частотным интервалом от до .

Размерность: .

Связь между интегральной и спектральной плотностями энергии излучения:

Излучение можно характеризовать вместо частоты длиной волны . Участку спектра при этом будет соответствовать интервал длин волн . Связь между этими величинами вытекает из формулы . Дифференцирование дает . Знак минус в полученном соотношении указывает лишь на то, что с возрастанием одной из величин, или , другая величина убывает. Поэтому в дальнейшем мы будем его опускать.

3.Теперь испускательная способность (спектральная энергетическая светимость) может быть представлена в виде

Размерность:

3. Аналогично, спектральная плотность энергии излучения может быть представлена как

Размерность: .

Если интервалы и относятся к одному и тому же участку спектра, то величины и должны совпадать:

откуда .

Связь между спектральными плотностями энергии излучения, естественно, полностью аналогична той, что была установлена при рассмотрении равновесия излучения с телом:

4. Поглощательная способность тела.

Поглощательной способностью называется безразмерная величина , определяемая как отношение части потока энергии в интервале частот , поглощенного телом, к падающему потоку энергии в том же интервале частот.

По определению .

III. Экспериментальные законы. Абсолютно черное тело.

В XIX в. проводились многочисленные опыты, в которых изучалось излучение нагретых тел. Исследования позволили, в частности, установить, что между испускательной и поглощательной способностями любого тела существует определенная связь.

Прево в 1809 г. нашел правило: если 2 тела поглощают различные количества энергии, то они и излучают разные количества энергии.

Спустя пятьдесят лет (1859) Кирхгоф на основе опыта сформулировал закон:

Отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела, оно является для всех тел универсальной (одной и той же) функцией частоты (длины волны ) и температуры.

Это утверждение можно проиллюстрировать следующим образом. Пусть имеется несколько тел внутри замкнутой вакуумированной оболочки, температура которой поддерживается постоянной. Опыт показывает, что такая система придет через некоторое время в состояние теплового равновесия – все тела примут одну и ту же температуру , равную температуре оболочки. В этом состоянии тело, обладающее большей испускательной способностью , теряет в единицу времени с единичной поверхности больше энергии, чем тело с меньшим значением . Поскольку температура (а, следовательно, и внутренняя энергия) тел не меняется, то тело, испускающее больше энергии, должно и поглощать больше, т.е. обладать большей поглощательной способностью .

Отсюда мы приходим к соотношению, выражающему закон Кирхгофа:

= = = … или = , (1.1)

где – универсальная функция.

Сами величины и могут меняться очень значительно от одного тела к другому, однако их отношение оказывается одинаковым для всех тел. Другими словами, сильнее поглощающее какие-либо лучи тело, будет их и сильнее испускать (не путать испускание с отражением).

Теперь появляется новая задача – найти универсальную функцию . Однако работать с двумя характеристиками и трудно, и тогда возникает идея абсолютно черного тела.

Абсолютно черное тело. Тело, полностью поглощающее упавшее на него излучение всех частот, называется абсолютно черным, .

Абсолютно черных тел не бывает в природе. Наиболее близки к ним сажа и платиновая чернь, но и то лишь в ограниченной области частот; в далекой инфракрасной области их поглощательная способность заметно меньше единицы.

Иногда вводят понятие «серое тело» с = , т.е. такое, которое поглощает лишь часть энергии, но одинаковую для всех частот.

Абсолютно черное тело интересно тем, что его испускательная способность равна универсальной функции: = . Поэтому возникает очевидная мысль – создать модель АЧТ и изучать его испускательную способность.

Реализация модели абсолютно черного тела (1861).

Другими словами, необходимо создать устройство, сколь угодно близкое по своим свойствам к модели

АЧТ. Такое устройство представляет собой замкнутую полость,

cнабженную маленьким отверстием, стенки которой поддерживаются при

определенной температуре . Излучение, попадающее через отверстие в

полость, может долго находиться внутри ее, испытывая отражение от

стенок, поглощаясь ими и вновь переизлучаясь – термолизуясь. Поэтому для

маленького отверстия 1.

Пример.

Если в яркий солнечный день рассматривать внутренность комнаты через открытое окно, то комната кажется темной.

В полости находится примерно равновесное излучение, которое, претерпев многократные отражения, будет выходить из отверстия. Т.о., если стенки полости поддерживать при некоторой постоянной температуре , то из отверстия выходит излучение, весьма близкое по спектральному составу к излучению АЧТ при той же температуре . Разлагая это излучение с помощью дифракционной решетки или системы зеркал в спектр и измеряя интенсивность различных участков спектра, можем экспериментально получить .

Опытным путем было найдено, что энергетическая светимость абсолютно черного тела сильно возрастает с температурой. Максимум испускательной способности с увеличением температуры сдвигается в коротковолновую область спектра.

Экспериментальные зависимости имеют вид:

В экспериментальных исследованиях удобнее пользоваться функцией длины волны

. В теоретических работах, как правило, используют функцию частоты .

Между этими функциями существует следующая связь:

; .

Для абсолютно черного тела интегральная испускательная способность ( энергетическая светимость) равна площади под кривой:

. (1.2)

Связь между энергетической светимостью и плотностью энергии излучения.

Для АЧТ легко найти связь между энергетической светимостью и плотностью энергии излучения [или между и .

Пусть имеется полость с абсолютно черными стенками, поддерживаемыми при постоянной температуре .

Выделим внутри полости площадку . Поток энергии, испускаемый единицей поверхности площадки (энергетическая светимость):

. (1.3)

Сосчитаем теперь энергию, приходящую на площадку из окружающего пространства.

Поскольку излучение равновесно, внутри полости через любую точку во всех направлениях проходит поток энергии одинаковой плотности или . Поэтому в пределах телесного угла , ось которого

наклонена под углом , в сторону площадки “летит” доля объемной

плотности энергии , которую можно найти как вероятность потока

энергии в элемент телесного угла , умноженную на объемную плотность

энергии ).

Тогда

За время на площадку под углом за время попадет энергия из объема :

Полная энергия, пришедшая на площадку за время ,

находится интегрированием по полному телесному углу ,

в пределах которого излучение падает на площадку:

Плотность потока энергии на (или через) единичную площадку :

. (1.4)

Т.к. в состоянии термодинамического равновесия исходящий (1.3) и приходящий (1.4) потоки энергии равны, то

, или . (1.5)

Закон Стефана-Больцмана.

Долгое время попытки теоретически получить вид функции не приводили к успеху. В 1879 г. Стефан, анализируя экспериментальные данные, пришел к выводу, что энергетическая светимость тел пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры: . Стефан считал, что этот закон справедлив для интегральной светимости всех тел. Однако оказалось, что он строго выполняется только для абсолютно черного тела. Это показал в 1884 г. Больцман, исходя из законов классической термодинамики и используя результаты теории электромагнетизма Максвелла.

. (1.6)

Приведенное соотношение между энергетической светимостью абсолютно черного тела и его термодинамической температурой получило название закона Стефана – Больцмана. Оно означает, что площадь под кривой растет пропорционально .

Константу называют постоянной Стефана-Больцмана. Ее экспериментальное значение равно .

Приложение.

Зависимость можно получить, если использовать одну из общих термодинамических формул

, (1.7)

где - давление, - объем, - внутренняя энергия газа.

Вспомним, как получается приведенная выше формула.

1) Первое начало термодинамики:

, поэтому , делим на при постоянной :

2) Свободная энергия

Для газа и, аналогично, для излучения имеем

, (1.8)

где внутренняя энергия; объем; объемная плотность энергии излучения.

Падающее под углом (к нормали) излучение, поглощаясь, передает

площадке за время импульс:

Давление этой компоненты излучения:

Тогда давление, оказываемое всем поглощаемым излучением, равно

Если поверхность излучает столько же, сколько поглощает, то , и давление, обусловленное поглощением и излучением равных порций излучения, равно

. (1.9)

Заметим, что тот же результат (1.9) можно получить из максвелловской теории электромагнетизма:

, здесь - вектор Пойнтинга.

Подставляя выражения (1.8) и (1.9) в уравнение (1.7), имеем

в левой части ,

в правой части .

Тогда

Примечания.

а) Аналогичный результат можно получить также путем рассмотрения цикла Карно.

б) Для нечерных тел закон Стефана-Больцмана не выполняется. Однако в некоторых случаях

удовлетворительно выполняется соотношение ,

1) если ввести коэффициент серости .

2) изменить показатель степени, сделав его больше или меньше 4.

3) существуют селективные излучатели, испускающее тепловое излучение лишь в определенном

частотном интервале.

Примеры.

1) При абсолютно черное тело с поверхности излучает

2) Проведем некоторые оценки. Пусть АЧТ с температурой находится в среде с

температурой и . Количество энергии, уходящей с поверхности тела в единицу времени,

, при .

а) Если в комнате (АЧТ) теплее, чем на улице (среда) на , и температура наружного воздуха , то уходящее из помещения излучение уносит ежесекундно энергию

б) Чувствительность кобры. Змея улавливает тепловое излучение тел, температура которых отличается от температуры среды на , что соответствует потоку энергии с единицы поверхности тела

() приблизительно .

в) Экстрасенсы. Их чувствительность в ИК-области очень высока, но зависит не только от интегральной интенсивности, но и положения максимума энергетической светимости.

2.Классическое описание излучения абсолютно черного тела.

К концу XIX в. было предпринято большое количество попыток (описания механизма) объяснения природы теплового излучения АЧТ в рамках классической физики.

I. Критерий и закон смещения Вина.

Вин, исходя из законов термодинамики и максвелловской теории электромагнетизма, сформулировал (1893г.) общее условие для универсальной функции (спектрального распределения) :

= – формула Вина, (1.10) (о выводе формулы Вина см. Сивухин т.IV, стр.686-691)

где некоторая функция отношения частоты излучения к температуре.

Другими словами, Вин вывел формулу для общего вида распределения энергии в спектре равновесного излучения, на основе которой он установил следующее правило.

Критерий Вина. Любое выражение функции спектрального распределения не должно противоречить формуле Вина, поскольку последняя получена из общих соображений.

Явный вид функции не ясен, т.к. для этого необходимо знание физического механизма излучения. Однако в формуле Вина был достигнут определенный результат, а именно: из функции выделена частота , и является теперь функцией лишь одной переменной .

Формулу Вина можно записать, используя в качестве переменных длину излучаемой волны и температуру тела :

, (1.11)

где – функция переменной .

Формула Вина позволяет получить

1) Закон Стефана-Больцмана

где , либо через : и .

2) Закон смещения Вина

Формула Вина (1.10) или (1.11) позволяет установить связь между частотой излучения (или длиной волны ), на которую приходится максимум функции спектрального распределения , и температурой тела .

Из опыта известно, что функция имеет два экстремума, причем, минимум при .

Продифференцировав выражение (1.10) по частоте

будем искать частоту , при которой универсальная функция достигает максимума.

Обозначив , можем записать

Решение этого уравнения относительно неизвестного дает некоторое число . Тогда , или

– закон смещения Вина (1896 г.). (1.12)

Закон смещения Вина утверждает, что длина волны , на которую приходится максимум энергии в спектре равновесного излучения, обратно пропорциональна температуре излучающего тела.

Этот закон является следствием формулы Вина.

Константа носит название постоянной Вина.

Луммер и Прингсгейм в 1897 г. экспериментально подтвердили справедливость закона смещения Вина, получив при этом значение .

Примеры.

1) Если человека рассматривать как АЧТ, то при максимум его светимости приходится

на длину волны мкм, т.е. лежит в инфракрасном диапазоне.

2) Сколько всего излучает человек: мощность излучения составляет

Вт, т.е. по интегральной мощности

человек «светит», как 60-ваттная лампочка, но в ИК-диапазоне.

На этом основании создавались приборы ночного видения.

II. Теория Рэлея-Джинса.

Суммировав сказанное выше, можно констатировать, что термодинамика, внеся важный вклад в развитие учения о тепловом излучении, на этом себя исчерпала и определить явный вид функции или , оказалась не в состоянии.

Для определения вида универсальной функции было необходимо привлечь статистические методы.

В 1900 г. Рэлей и Джинс, основываясь на теореме классической статистики о равномерном распределении энергии по степеням свободы, нашли выражение для функции спектрального распределения .

Равновесное электромагнитное поле (излучение) можно представить как систему стоячих волн, с частотами, заполняющими весь спектр излучения (такой подход аналогичен разложению спектра излучения в ряд Фурье).

Каждая стоячая волна обладает энергией (хотя и не переносит её), поэтому поле равновесного излучения можно найти, просуммировав энергии всех образующих его стоячих волн.

Другими словами, зная энергию, которой обладает стоячая волна, нужно найти число стоячих волн, приходящихся на единичный интервал частот, а затем проинтегрировать (т.к. спектр теплового излучения непрерывный) по всему спектру.

Итак, перед нами стоит задача нахождения числа стоячих волн в единичном интервале частот.

Проиллюстрируем сначала идею подхода к решению этой задачи для одного измерения.

1) Одномерный случай.

Стоячая волна, как известно, может быть представлена как сумма двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу.

– вдоль оси ,

– против оси .

Если одномерная область ограничена, то на границах области возникают

либо а) узлы (пример: струна, закрепленная на концах),

либо б) пучности (стержень, закрепленный посередине).

Действительно,

а) если разность фаз колебаний в бегущих волнах , то их сумма

, и в точке будет узел: .

б) если разность фаз колебаний в бегущих волнах , то их сумма

, и в точке будет пучность: .

Пусть для определенности имеем на краях узлы (это не влияет на общность – тот же результат получается и для пучностей).

Тогда на правой границе фаза колебаний, при , удовлетворяет условию:

, .

(На длине должно укладываться целое число полуволн).

Пусть в пространстве одного измерения имеются две стоячих волны с модулями волновых векторов

и .

Тогда разность будет определять число стоячих волн , модули волновых векторов которых лежат в интервале :

Для бесконечно малого интервала , в котором значения волновых чисел распределены непрерывно,

Поскольку и , число стоячих волн, частоты которых лежат в диапазоне :

Вдоль заданного направления могут существовать стоячие электромагнитные волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных направлениях, поэтому полученное выражение следует умножить на .

2) Трехмерный случай.

В качестве трехмерной области выберем ящик с размерами .

Если учесть, что при отражении от стенки ящика проекция

вектора бегущей волны на направление, перпендикулярное

стенке, меняет знак на противоположный, например,

то волновые векторы распространяющихся в ящике волн

могут определяться следующими наборами проекций:

1) ; 2) (; 3) ; 4)

5) ; 6) ; 7) ; 8) ,

Т.о., стоячая волна в прямоугольном ящике возникает при наложении – ми бегущих волн, каждая из которых определяется набором из трех проекций волнового вектора на оси координат, отличающихся знаком одной из проекций вектора .

Пусть для определенности имеем на стенках ящика, при , , , узлы.

Тогда уравнение стоячей волны приобретает вид:

Для того, чтобы узлы стоячей волны наблюдались на также стенках ящика с координатами , , (т.е. во всех восьми вершинах рассматриваемой области), необходимо выполнение условия:

или ; ; , где

В пространстве с осями каждой стоячей волне

отвечает точка, положение которой задается проекцией

волнового вектора на координатные оси.

На долю каждой точки пространства ()

приходится объем , где объем

пространственной области (в нашем случае ящика), т.е.

плотность точек в пространстве равна

Тогда число стоячих волн, заключенных в бесконечно малом кубике объемом , определяется

выражением

Поскольку именно модуль волнового вектора определяет частоту (длину волны) излучения (), нужно рассматривать только соответствующий его изменению объем фазового пространства.

Число стоячих волн, модуль волнового вектора которых лежит в пределах от до (т.е. берутся только положительные значения компонент волнового вектора), равно количеству точек, попадающих в пределы шарового слоя радиусом и толщиной .

= .

Полученное выражение следует умножить на , поскольку

вдоль заданного направления могут распространяться две

электромагнитные волны одинаковой частоты, отличающиеся

направлением поляризации (поляризованные во взаимно

перпендикулярных направлениях).

Т.о., число стоячих волн, приходящихся на единицу объема, в

интервале частот от до равно

;

Мы получили важный результат, справедливый как в классической, так и в квантовой физике, и используемый при решении различных задач, где требуется вычислить плотность состояний.

Рэлей и Джинс предположили, что на каждую стоячую волну будет приходиться в среднем энергия, равная , т.е. по одной “половинке” на электрическую и магнитную компоненты электромагнитной волны, поскольку

Тогда плотность энергии электромагнитного поля, приходящаяся на интервал частот равна

Отсюда спектральная плотность излучения:

и универсальная функция (испускательная способность АЧТ): .

; – закон – формула Рэлея-Джинса.

а) формула удовлетворяет критерию Вина:

или

б) сравнение с экспериментом:

Оказалось, что формула Рэлея-Джинса хорошо описывает экспериментальную кривую только в длинноволновой () области спектра (или при низких частотах) и резко расходится с опытом для малых длин волн.

Более того, при расчете энергетической светимости (интегральной испускательной способности) интегрирование формулы Рэлея-Джинса дает расходящееся выражение:

Эта расходимость получила название ультрафиолетовой катастрофы. Опыт показывает, что равновесие между излучением и излучающим телом устанавливается при конечных значениях энергетической светимости или плотности энергии излучения .

III. Формула Вина.

Вин в 1896 г. предложил конкретный вид для функции , основываясь на двух ключевых предположениях.

Во-первых, он рассмотрел хаотическое движение атомов как квазипериодический процесс и средней энергии этого квазипериодического движения сопоставил определенную частоту :

, (а не )

Во-вторых, как рассуждал Вин, каждая мода колебаний является носителем энергии , но не все моды данной частоты возбуждены. Относительное число возбужденных мод задается распределением Больцмана