Пример расчета № 1

Для балки, расчетная схема которой показана на рис.5, назначить размеры поперечного сечения из условий прочности и жесткости. Расчет на прочность выполнить по первому предельному состоянию.

Исходные данные: L = 6,0 м, F = 20 кН, q = 4 кН / м,

М = 16 кН× м, R_и = 180 МПа, R_s = 140 МПа, [v] = L / 400; Е = 2× 10 ⁵ МПа, тип поперечного сечения – двутавровый профиль.

Для назначения размеров поперечного сечения балки из условий прочности необходимо найти сечения, в которых внутренние усилия достигают экстремума, т.е. необходимо построить эпюры внутренних усилий.

Расчеты начинаются с определения величины и направления опорных реакций, для чего составляются следующие уравнения равновесия рассматриваемой балки:

;

подставляя численные значения параметров, входящих в это выражение, получим: R_B = 20,0 кН.

; подстановка числен-ных значений дала следующий результат: R_А = 16.0 кН.

3. S Y = 0 Þ .

Для определения внутренних усилий балка разбивается на характерные участки, границами которых являются сечения, где приложены сосредоточенные усилия и начинается или кончается распределенная нагрузка. Для каждого участка составляется уравнения, по которым определяются искомые усилия.

Построение эпюр внутренних усилий показано на рис.6. Эпюра изгибающих моментов построена на растянутом волокне.

Сечение I (0 £ x₁ £ ) Q_y = R_A = 16,0 кН; M_z = R×x₁;

x₁ = 0 Þ M_z= 0, x₁ = Þ M_z= 32,0 кН×м.

Сечение II (0 £ x₂ £ ) Q_y = R_A – F - q×x₂;

x₂ = 0 Þ Q_y = - 4,0 кН, x₂ = Þ Q_y = - 20,0 кН,

M_z = R_A ( + x₂) - F×x₂ - q ; x₂ = 0 Þ M_z= 32 кН×м,

x₂ = Þ M_z= 16,0 кН×м, x₂ = Þ M_z= - 20 кН×м.

Сечение III (0 £ x₃ £ L / 3) Q_y = 0; M_z = - M = - 20,0 кН× м.

Максимальный изгибающий момент M_max = 32.0 кН×м, следовательно, расчет на прочность по нормальным напряжениям нужно произвести на это усилие:

£ R_и;

тогда требуемый момент сопротивления сеченияW_z^тр ³ ³ , т.е. W_z^тр ³ 178см³, по сортаменту [5] находим, что это условие выполняется для двутавра № 20, у которого W_z = 184 см³.

Для назначенного сечения необходимо проверить выполнение условия прочности по касательным напряжениям: ;

где Q_y = 20,0 кН – максимальная поперечная сила; геометрические характеристики профиля по сортаменту:статический момент площади отсеченной части сечения = 104 cм³, толщина стенки двутавра b_i = 5,2 мм.

МПа £ 140 МПа.

Из условий прочности по нормальным и касательным напряжениям принято: сечение балки двутавр № 20, W_z = 184 см³ , I_z = 1840 см⁴.

Для обеспечения условия жесткости (9), необходимо построить эпюру прогибов и по ней отыскать экстремальное значение прогиба балки.

Для рассматриваемой расчетной схемы универ-сальное уравнение, по которому определяется вертикаль-ное перемещение оси балки при (см. рис. 7):

(2L / 3) ⁴

(2L / 3) ³

L³

1 L

(2L / 3) ⁴

(2L / 3) ³

L³

(x –L / 3) ⁴

В этом уравнении: V₀=0; q₀ ¹ 0; М₀ = 0; Q₀ = R_A.

Для определения неизвестного угла поворота сечения в начале отсчета используем следующее условие: при х = L V_L = 0, тогда:

, отсюда:

Подле подстановки числовых данных в это выражение получим: EIq₀ = – 53,33.

Теперь, зная все начальные параметры системы, можно определить величину и направление угла поворота и вертикального перемещения оси балки для любого сечения (в интервале 0 £ х £ 4L / 3)

Выражения для определения прогибов и углов поворота следующие:

1. х =

2. х =

3. х = L

4.

Результаты выполненных расчетов представлены в табл.1.

Таблица 1

x		L / 3	2L / 3	L	4L / 3
EIv	0.0	- 85.33	- 71.99	0.0	32.03
EIq	- 53.33	- 21.33	29.34	32.0	40.00

Эпюры углов поворота и прогибов показаны на рис.7. Максимальный прогиб следует определить для сечения, в котором угол поворота равен 0.

Абсцисса х₀ определяется решением кубического уравнения х³ – 5,667х² + 5,33х + 7,555 = 0, (*)

которое получено при подстановке числовых значений известных параметров в уравнение углов поворота на втором участке балки:

Единственный действительный корень уравнения (*) дает значение абсциссы х₀ = 2,7 м. При подстановке этого значение х₀ в уравнение прогибов для второго участка балки, получим значение V_max = .

Подставляя полученное значение ½V_max½в условие жесткости, c учетом того, что все размерности должны быть выражены в МН и м, получим:

£ , тогда требуемый момент инерции се-

чения: I_z^тр ³ = 10 ^–8×3084 м ⁴= 3084 см ⁴.

По сортаменту [5] или [6] ближайший момент инерции, превышающий 3084 см ⁴, для двутаврового профиля № 24 Þ I_z = 3460см ⁴.

Так как по условию жесткости требуются большие размеры сечения, чем по условию прочности, окончательно принято: поперечное сечение балки двутавр № 24, I_z = 3460 см ⁴, W_z = 289 см ³, А = 34.8 см ².

---

Дата добавления: 2015-07-10