Теорема6. 5

Пусть функции и , непрерывны в точке тогда:

1) функции и также непрерывны в точке ;

2) функция также непрерывна в точке ;

3) функция также непрерывна в точке , если ;

4) Пусть функция непрерывна в точке , а функция

непрерывна в точке . тогда сложная функция непрерывна в точке

Доказательство. Если мы докажем для функции справедливость формулы (4) , то из результатов теоремы 6.4 будет следовать непрерывность функции в точке .

Пункты 1),2),3) теоремы 6.3 доказываются одинаково. Докажем, например, пункт 3)

Обозначим . По условию теоремы 6.3 и непрерывны в точке и .

Переходя к пределу при , по теореме о пределе дроби получаем

Следовательно, по определению 6.5 функция непрерывна в точке .

Пункт 3) доказан. Пункты 1), 2) доказываются аналогично.

Приведём схему доказательства четвёртого пункта. По условию теоремы функция непрерывна в точке . Тогда, если следует . В свою очередь функция непрерывна в точке и поэтому при . А это означает, что непрерывна в точке

Из теоремы 3 следует очень полезная на практике теорема

Дата добавления: 2015-07-10