Основные свойства бесконечно малых.

Глава 3.

Занятие 6

Определения и свойства непрерывных функций.

Определение 6.1. Функцию назовём бесконечно малой (при ) если

(6.1)

Сокращённо это записывается так () б.м.

Определение 6.2. Две б.м. называются эквивалентными если

(6.2)

Это записывается так .

Основные свойства бесконечно малых.

Теорема 6.1. Пусть функции б.м., ограниченная функция, тогда справедливы следующие утверждения

1) также является б.м.()

Сумма двух б.м. также б.м.

2) также является б.м.

Произведение б.м. на ограниченную функцию также б.м.

3) Предел произведения переменных не изменится, если каждый б.м. сомножитель заменить эквивалентным б.м. сомножителем.

Пример 6.1. Пусть и предел существует, тогда

Определение 6.3. Функцию назовем положительной бесконечно большой (б.б. при ) если для любого сколь угодно большого положительного числа все значения . Краткая запись будет выглядеть так .

Определение 6.4. Функцию назовем отрицательной бесконечно большой (б.б. при ) если для любого сколь угодно большого отрицательного числа все значения . Краткая запись будет выглядеть так .

Теорема6.2. Если положительная б.м. при , тогда есть положительная б.б. при .

Замечание. Положительную б.м. будем записывать так . Тогда запись будет означать, что величина есть положительная б.б.

Теорема6.3. Если отрицательная б.м. при , тогда есть отрицательная б.б. при .

Замечание. Отрицательную б.м. будем записывать так . Тогда запись будет означать, что величина есть отрицательная б.б.

При решении различного рода инженерных задач на практике широко используется класс функций, у которых значение функции в точке и предельное значение в этой же точке совпадают. Такие функции называются непрерывными.

Определение 6. 5. Функция называется непрерывной в точке тогда и только тогда если

(6.3)

Определение 6.6. Функция называется непрерывной на открытом интервале тогда и только тогда если она непрерывна в любой точке .

Теорема 6.4. Если функцию можно записать формулой

(6.4)

где б.м. (), то эта функция непрерывна в точке .

Доказательство.

Дата добавления: 2015-07-10