IV. Контрольная работа №1.

Векторная алгебра. Система координат на плоскости и в пространстве.

Векторы, линейные операции над ними. Линейная зависимость векторов на плоскости и в пространстве. Базис, координаты вектора в базисе. Прямоугольная система координат. Преобразование прямоугольных координат. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их свойства, геометрический смысл, формулы их вычисления в прямоугольной системе координат.

Прямая и плоскость.

Общее уравнение прямой на плоскости, каноническое, параметрическое уравнения прямой на плоскости, уравнение с угловым коэффициентом между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых. Нормированное уравнение прямой, расстояние от точки до прямой. Деление отрезка в данном отношении. Общее уравнение плоскости, условие параллельности, перпендикулярности плоскостей. Нормированное уравнение плоскости, расстояние от точки до плоскости. Прямая линия в пространстве, способы её задания. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, прямой и плоскости.

II. Что нужно уметь.

1. Умножать матрицы.

2. Вычислять определители любого порядка.

3. Находить обратную матрицу.

4. Вычислять ранг матрицы двумя способами: окаймлением миноров, с помощью элементарных преобразований. Находить базисный минор.

5. Решать квадратные системы по правилу Крамера: с помощью определителей, с помощью обратной матрицы.

6. Решать системы методом Гаусса.

7. Находить фундаментальную систему решений однородных систем.

8. Вычислять скалярное, векторное и смешанное произведение векторов через их прямоугольные координаты.

9. Определять длину вектора, угол между векторами, расстояние между точками.

10. Делить отрезок в данном отношении.

11. Находить уравнение прямой на плоскости (в пространстве), проходящей через данную точку, параллельно (перпендикулярно) заданной прямой.

12. Находить уравнение плоскости, проходящей через три заданных точки.

13. Находить угол между прямыми(плоскостями).

14. Находить расстояние от точки до прямой (плоскости).

15. Определять взаиморасположение прямых, плоскостей, прямой и плоскости.

III. Литература.

1. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

2. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра.

3. Беклимишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

4. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы.

5. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.

6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.

8. Щербаков Р.Н., Малаховский В.С. Курс аналитической геометрии.

9. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии.

10. Баврин И.И., Матросов В.Л. Общий курс высшей математики.

IV. Контрольная работа №1.

Задача №1. Дан определитель.

А) Вычислить определитель, разложив его по какой-либо строке (или столбцу).

Б) Вычислить определитель, получив предварительно нули в какой-либо строке (или столбце).

1.1.	2 -1 3 0		-2 0 -1 1		3 -4 6 7
4 1 2 -1	1.2.	3 1 -2 1	1.3.	1 -2 3 4
-3 0 4 1		0 4 -1 3		5 -11 12 14
1 1 0 3		1 1 -2 1		8 -17 21 35

1.4.	1 2 3 5		1 1 2 5		1 0 4 3
2 2 -3 -4	1.5.	3 4 5 1	1.6.	2 2 3 -1
3 4 -1 -4		1 -1 -1 2		0 4 3 1
4 7 7 3		3 3 4 14		-2 -4 1 3

1.7.	-2 0 -1 -1		1 2 2 3		3 -4 6 7
-3 1 -2 1	1.8.	2 5 2 -1	1.9.	1 -2 3 4
6 4 -1 3		2 5 -1 -6		5 -11 12 14
-1 1 -2 1		1 2 -1 2		8 -17 21 35
1.10.	1 1 0 3
-1 -1 7 1
2 -2 -1 -1
2 -1 3 0

Задача №2. Решить систему.

А) Путём нахождения обратной матрицы.

Б) По правилу Крамера.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

Задача №3. Дана система уравнений.

А) Найти её общее решение метом Гаусса.

Б) Для соответствующей ей однородной системы найти фундаментальную систему решений с помощью нахождения базисного минора.

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7

3.8

3.9

3.10

Задача №4. Даны координаты вершин тетраэдра ABCD. Найти:

А) Площадь основания АВС.

Б) Уравнение высоты тетраэдра DK.

В) Уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно высоте DK.

Г) Расстояние от точки С до грани ABD.

Д) Уравнение плоскости, проходящей через точки В и С перпендикулярно плоскости ABC.

Е) Длину ребра BD.

Ж) Объём тетраэдра ABCD.

З) Величину плоского угла при вершине С плоскости BCD.

И) Величину угла между ребром CD и плоскостью ABC.

4.1 A(1,1,1);B(2,2,2);C(2,3,4);D(2,4,7).

4.2 A(0,0,0);B(1,1,1);C(1,2,3);D(1,3,6).

4.3 A(0,1,2);B(1,2,3);C(1,3,5);D(1,4,8).

4.4 A(1,2,3);B(2,3,1);C(2,4,6);D(4,7,6).

4.5 A(0,0,0);B(1,2,3);C(1,1,-2);D(3,5,3).

4.6 A(1,1,-1);B(2,3,2);C(2,2,-3);D(4,6,2).

4.7 A(0,0,0);B(-1,4,7);C(0,2,8);D(1,-2,-1).

4.8 A(1,0,1);B(0,4,8);C(1,2,9);D(2,-2,0).

4.9 A(1,-1,0);B(0,3,7);C(1,1,8);D(2,-3,-1).

4.10 A(0,1,-1);B(1,2,-2);C(1,0,0);D(-1,2,0).

Дата добавления: 2015-07-10