Событие наступит более 3 раз.

Оглавление

Задача № 1. 3

Задача №2. 3

Задача №3. 3

Задача № 4. 5

Задача № 5. 6

Задача №6. 7

Задача № 7. 9

Задача №8. 10

Задача № 9. 11

Задача № 10. 13

Задача № 11. 13

Задача № 12. 14

Задача № 13. 15

Задача № 14. 16

Задача № 15. 17

Задача № 16. 17

Задача № 17. 18

Задача № 18. 20

3.2.Определение оптимальных параметров экономической системы путем математического моделирования 26

Литература. 28

Задача № 1

При перевозке 109 деталей, из которых 10 были забракованы, утеряна 1 стан­дартная деталь. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь (из оставшихся) окажется стандартной.

Решение

Находим по формуле классической вероятности вероятность выбора нестандартной детали:

Так как была утеряна стандартная деталь, их осталось 98. Отсюда:

Задача №2

На один ряд, состоящий из 13 мест, случайно садятся 13 учеников. Найти веро­ятность того, что 3 определенных ученика окажутся рядом.

Решение

По классическому определению вероятности, вероятность того, что три определённых лица окажутся рядом при случайном рассаживании на скамейку, равна отношению числа m способов расстановки десяти человек, при котором три определённых лица окажутся рядом, к общему числу разных расстановок десяти человек по десяти местам.

.

Общее число n различных расстановок, в которых имеет значение место конкретного человека, десяти человек по десяти местам равно числу размещений из 10 по 10:

Чтобы три ученика оказались рядом, их нужно рассаживать на три определённых места, а 10 остальных рассаживать в произвольном порядке на остальные 10 мест.

Пусть эти 3 ученика садятся на одно место, тогда у нас становится 11 мест, на которые могут рассесться 11 учеников, а это 11!, наши 3 ученика, сидящие вместе на одном месте могут между собой сесть 3! способами, следовательно:

Задача №3

Из урны, содержащей 19 белых и 31 черных шаров, вынимаются два шара.

а) Найти вероятность тою, что шары разных цветов.

б) Найти вероятность того, что шары одного цвета.

Решение

Находим вероятность того, что шары будут разных цветов:

Вероятность того, что оба вытащенных шара будут разных цветов это - вероятность того, что первый шар будет белым, а второй черными или того, что первый шар будет черным, а второй – белым. Она равна сумме соответствующих вероятностей.

Вероятность того, что первый вынутый шар белый:

Вероятность того, что второй вынутый шар черный:

Находим вероятность, что первый шар будет белый, второй черный:

Вероятность того, что первый вынутый шар черный:

Вероятность того, что второй вынутый шар белый:

Находим вероятность, что первый шар будет черный, второй белый:

Вероятность, что шары будут разноцветные равна сумме полученных вероятностей.

Находим вероятность, что шары будут одного цвета. Тут возможно 2 варианта – либо оба шара белые, либо оба черные.

1.Оба шара белые.

Вероятность, что первый вынутый шар белый:

Вероятность, что второй вынутый шар белый:

Тогда вероятность, что подряд были выбраны белые шары равна:

2.Оба шара черные:

Вероятность, что первый вынутый шар черный:

Вероятность, что второй вынутый шар черный:

Тогда вероятность, что подряд были выбраны черные шары равна:

Вероятность того, что шары одного цвета находим по формуле сложения вероятностей:

Задача № 4

Имеются две урны. В первой лежат 14 белых и 19 черных шаров; во второй находятся 31 белых и 16 черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают один шар.

Какова вероятность после этого вынуть:

а) белый шар из I урны

б) белый шар из II урны.

Решение

Всего шаров в первой урне 14+19=33, во второй – 31+16=47.

При перекладывании шара из первой урны во вторую возможны следующие варианты:

а) событие Н ₁ вынули белый шар:

б) событие Н ₂ вынули черный шар:

Далее рассмотрим следующие варианты:

Если из первой урны вынули белый шар, то, в ней будет 14 белых 18 черных шаров, а всего будет 32. Во второй же урне будет 31 белых и 16 черных шаров, а всего их будет 48.

Тогда вероятность того что белый шар будет вынут из первой урны равна:

А вероятность того что белый шар будет вынут из второй урны равна:

Если из первой урны вынули черный шар, то в ней будет 14 белых 18 черных шаров, а всего будет 32. Во второй урне будет 31 белых и 17 черных шаров, а всего их будет 48.

Тогда вероятность того что белый шар будет вынут из первой урны равна:

А вероятность того что белый шар будет вынут из второй урны равна:

Тогда, по формуле полной вероятности находим вероятность того, что выбранный белый шар был из первой урны будет:

Вероятность того, что выбранный белый шар был из второй урны будет:

Задача № 5

На I складе имеется 19 изделий, из которых 3 бракованных; на II складе находятся 24 изделие, из которых 5 бракованных. Из каждого склада выбирается но одному изде­лию случайным образом. После чего из этой пары отбирается одно изделие, которое оказа­лось небракованным. Какова вероятность, что это изделие из I склада?

Решение

Качественных деталей на первом складе – 19 – 3=16; на втором складе 24 – 5=19.

Пусть имеют место следующие события:

A — изделие окажется качественным;

H ₁ — изделие из продукции 1-го склада;

H ₂ — изделие из продукции 2-го склада;

Вероятность что выбранное изделие с 1-го склада:

Вероятность что выбранное изделие со 2-го склада:

Условные вероятности заданы в условии задачи:

Вероятность события A вычисляем по формуле полной вероятности:

P (A) = P (A | H ₁) P (H ₁) + P (A | H ₂) P (H ₂) = 0,442·0,8421 + 0,558·0,7917 = 0,814

По формуле Байеса вычисляем вероятность того, что изделие окажется с первого склада:

Задача №6

Среди 12 часов, поступивших в ремонт, 2 с поломками оси. Наудачу взяты 3 ча­сов. Составить ряд распределения числа часов с поломками оси среди взятых трех. Найти функцию распределения дискретной случайной величины. Построить се график.

Решение

Всего исправных часов: 12 – 2 = 10

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 часов нет с поломками оси.

1. Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 часов одни с поломками оси.

Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь трое часов из 12:

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию:

а) одни часы среди 2 часов с поломками оси можно выбрать способами, количество которых равно:

б) Остальные двое исправных часов можно выбрать из 10 исправных:

Аналогично:

2. Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 часов 2 с поломками оси.

xi
pi	0,545	0,409	0,046

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑ x_ip_i.

Математическое ожидание M [ X ].

M [ X ] = 0·0,545 + 1·0,409 + 2·0,046 = 0,501

Дисперсию находим по формуле d = ∑x ² _ip_i – M [ x ]².

Дисперсия D [ X ].

D [ X ] = 0²·0,545 + 1²·0,409 + 2²·0,046 – 0,501² = 0,342

Среднее квадратическое отклонение σ (x):

Находим функцию распределения:

F (x ≤0) = 0

F (0< x ≤1) = 0,545

F (1< x ≤2) = 0,409 + 0,545 = 0,954

F (x >2) = 1

Функция распределения F(X).

График функции распределения:

Многоугольник распределения

Задача № 7

Даны независимые случайные величины X и Y заданы своими рядами распределений:

	0,7	0,3

	– 1
	0,4	0,1	0,5

Составить закон распределения их суммы - случайной величины /. X + Y и проверить вы­полнение свойства математического ожидания: M (X + Y)= M (X) + M (Y)

Решение

Представим новую случайную величину как Z = X + Y и найдем ее.

Для этого составим вспомогательную таблицу:

X + Y	yj	–1
xi	pi pj	0,4	0,1	0,5
	0,7	0,28	0,07	0,35
	0,3	0,12	0,03	0,15

Таблица заполняется следующим образом: в каждой клетке таблицы в левом углу находится значение суммы х_i + y_j, а в правом углу – вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей p_i и p_j.

Мы видим, что среди значений повторяющихся нет. Следовательно, закон распределения новой случайно величины Z будет иметь вид:

	0,28	0,07	0,12	0,03	0,35	0,15

Теперь найдем сначала математические ожидание исходных величин, затем математическое ожидание полученной случайной величины и по свойствам математических ожиданий сравним их.

Математическое ожидание M [ X ].

M [ x ] = 2·0,7 + 4·0,3 = 2,6

Математическое ожидание M [ Y ].

M [ y ] = (– 1) ·0,4 + 0·0,1 + 10·0,5 = 4,6

Математическое ожидание M [ Z ].

M [ z ] = 1·0,28 + 2·0,07 + 3·0,12 + 4·0,03 + 12·0,35 + 14·0,15 = 7,2

По свойствам математических ожиданий – математическое ожидание суммы любых случайных величин равно сумме их математических ожиданий, если только эти математические ожидания существуют.

Записываем математическое ожидание величины Z в соответствии с этим свойством:

M [ z ]= M [ x ]+ M [ y ]=2,6+4,6=7,2

Следовательно, данное свойство выполняется.

Задача №8

Задана функция распределения непрерывной случайной величины X:

Определить вероятность того, что в результате испытаний случайная величина X примет значение, большее 6,3, но меньшее 6,7. Найти плотность вероятности распре­деления случайной величины X и се дисперсию.

Решение

Для вычисления вероятности того, что величина X примет значение, большее 6,3, но меньшее 6,7воспользуемся общей формулой:

где F (x) – функция распределения величины X

Найдем плотность распределения f (x), как производную от функции распределения F (x):

Плотность распределения f (x) тогда будет:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднеквадратическое отклонение:

Задача № 9

Производится телефонный опрос потребителей некоторой продукции. Каждый потреби­тель не зависимо от других может дать положительный отзыв о продукции с вероятностью 9/40. Составить закон распределения случайной величины X – числа положительных отзывов среди 3-х опрошенных потребителей. Найти математическое ожидание и дисперсию числа поло­жительных отзывов среди 3-х опрошенных.

Решение

Вероятность положительного отзыва равна

С помощью схемы Бернулли составляем закон распределения:

Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,..., n). Вероятности этих значений можно найти по формуле:

где – число сочетаний из n по m:

Найдем ряд распределения X.

P ₃(0) = (1 – p) ⁿ = (1– 0,225)³ = 0,4655

P ₃(1) = np (1 – p) ^{n -1} = 3(1 – 0,225)^3-1 = 0,4054

P ₃(3) = pⁿ = 0,225³ = 0,01139

Математическое ожидание:

M [ X ] = np = 3·0,225 = 0,675

Дисперсия:

D [ X ] = npq = 3·0,225·(1 – 0,225) = 0,523125

Проверим найденные числовые характеристики исходя из закона распределения.

xi
pi	0,4655	0,4054	0,1177	0,01139

Математическое ожидание M [ X ].

M [ X ] = 0·0,4655 + 1·0,4054 + 2·0,1177 + 3·0,01139 = 0,675

Дисперсия D [ X ].

D [ X ] = 0²·0,4655 + 1²·0,4054 + 2²·0,1177 + 3²·0,01139 – 0,675² = 0,523

Среднее квадратическое отклонение σ (x):

Задача № 10

В большой партии телевизоров 9 процентов бракованных. При продаже телевизоры проверяются по одному до тех пор, пока не будет найден качественный телевизор. При этом бракованные телевизоры отправляются обратно на завод. Какова вероятность того, что на завод будет отправлено: а) более 3 телевизоров; б) от 4 до 6 телевизоров. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа проверенных телевизоров.

Решение

Вероятность появления бракованного телевизора в каждом случае равна 0,09.

Исходные данные: p = 0,09, q = 1 – p = 1 – 0,09 = 0,91

Формула Бернулли:

Событие наступит более 3 раз.

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит более k раз равна:

P (x > k) = P_n (k +1) + P_n (k +2) +... + P_n (n)

P (x > 3) = pⁿ = 0,09³ = 0,000729

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит не менее 4 и не более 6 раз равна: P (k ₁ ≤ x ≤ k ₂) = P_n (k ₁) + P_n (k ₁+1) +... + P_n (k ₂)

P (4 ≤ x ≤ 6) = 0.000815 + 0,000032 + 0,000000531 = 0,00084774681

Задача № 11

К киоску в среднем подходят 9 покупателей в час. Считая поток покупателей про­стейшим, найти вероятность того, что за 2 часа к киоску подойдет:

а) менее 2 покупателей;

б) хотя бы 1 покупатель.

Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа покупателей за 1 час.

Решение

Интенсивность потока – . Параметр распределения Пуассона: . Используя формулу Пуассона, находим искомые вероятности: ; По формуле Пуассона .

Тогда

Используем формулы для числовых характеристик распределения Пуассона:

; ;

Задача № 12

Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна 0,002. Определить вероятность того, что в партии из 890 изделий окажется не более двух бракованных.

Решение

Не более двух – это либо ни одного, либо 1, либо 2.

Вероятность р =0,002 мала, а число n =890 велико, np = 1,78 < 10.

Значит, искомые вероятности этих значений можно найти по формуле Пуассона:

Здесь λ = np = 890·0,002 = 1,78

P (0) = e^{- λ} = e ^-1.78 = 0,1686

P (1) = λe^-λ = 1,78 e ^-1.78 = 0,3002

По формуле сложения вероятностей находим вероятность, что в партии окажется не более двух бракованных изделий:

Задача № 13

При измерении большого земельного участка его длина округляется до ближайшего целого числа метров. Какова вероятность того, что возникающая при этом ошибка

а) не пре­высит 19 см;

б) будет лежать в пределах от 15 см до 60 см.

Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение ошибки округления.

Решение

В данном случае цена деления – 1 м. Ошибку округления отсчета можно считать распределенной равномерно на [0; 1], т.е. a = 0, b = 1. Тогда дифференциальная функция распределения f (x) будет иметь вид:

Отсюда, в нашем случае:

Вероятность того, что случайная величина, равномерно распределенная в интервале (α, β), принадлежащем [ a, b ], выражается формулой:

Вероятность того, что ошибка не пре­высит 19 см, то есть 0,19 м.:

Вероятность того, что ошибка будет лежать в пределах от 15 см до 60 см., то есть от 0,15 до 0,6 м.

Находим математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

Задача № 14

К киоску покупатели подходят в среднем через каждые 9 минут. Киоск начинает ра­боту в 9 часов утра. Считая поток покупателей простейшим, найти вероятность того, что ме­жду 3 и 4 покупателем (от начала рабочего дня) пройдет: а) не менее 11 минут» б) от 10 до 12 минут. Найти математическое ожидание и дисперсию времени от 10 часов утра до первого после этого времени покупателя.

Решение

Интенсивность нагрузки

Интенсивность нагрузки ρ =0 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

Время обслуживания

Вероятность:

;

Интенсивность потока обслуживания:

Интенсивность нагрузки.

ρ = λ · t_обс = 1/9 • 11 = 0

Вероятность

Задача № 15

Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 18 и средним квадратическим отклонением 9. Найти вероятность того, что ее значение

а) будет отрицательным:

б) будет лежать в пределах от -1 до 3;

в) будет отличаться от среднего не более чем на 2.

Решение

Вероятность, что данная случайная величина будет отрицательной, то есть меньше нуля:

Вероятность, что данная случайная величина будет лежать в пределах от -1 до 3

Вероятность, что данная случайная величина будет отличаться от среднего не более чем на 2

Задача № 16

В результате измерения массы большого числа яблок некоторого сорта установлено, что масса одного яблока лежит в пределах от 109 до 290 граммов. Считая, что масса яблока - случайная величина, имеющая нормальное распределение, и используя пра­вило «трех сигм», найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение массы яблока. Найти вероятность того, что масса случайно выбранного яблока больше 209 граммов.

Решение

При нормальном распределении

Где х ₁=109; х ₂=290; а – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение.

Решив систему уравнений, получили а =199,5, σ =90,5

По правилу «трех сигм» находим вероятность того, что масса случайно выбранного яблока больше 209 граммов, то есть .

Задача № 17

Проведена серия из 15 экспериментов со случайной величиной X. Но результатам на­блюдений получена выборка значений этой случайной величины.

14; 12; 13; 11; 11; 13; 13; 14; 11; 15; 12; 13; 10; 12; 13

Но данной выборке требуется:

1) построить дискретный вариационный ряд;

2) опре­делить численное значение моды Мо и медианы Ме;

3) построить ряд распределения частот

4) построить выборочную функцию распределения и ее график;

5) найти несмещенную оценку генеральной средней;

6) найти смещенную и несмещенную оценки генеральной дис­персии (т.е. выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию) и соответст­вующие оценки среднего квадратичного отклонения.

Решение

Построим дискретный вариационный ряд. Для этого отсортируем ряд по возрастанию и подсчитаем количество повторения для каждого элемента ряда.

Таблица для расчета показателей.

xi	Кол-во, fi	xi · fi	Накопленная частота, S	| x – x ср|· f	(x – x ср)^2· f	Частота, fi / n
				2,47	6,08	0,0667
				4,4	6,45	0,2
				1,4	0,65	0,2
				2,67	1,42	0,33
				3,07	4,7	0,13
				2,53	6,42	0,0667
Итого				16,53	25,73

Мода.

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Максимальное значение повторений при x = 13 (f = 5). Следовательно, мода равна 13

Медиана.

Медианой (Me) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Находим x_i, при котором накопленная частота S будет больше . Это значение x_i = 13. Таким образом, медиана равна 13

Найдем выборочную(эмпирическую функцию распределения и построим ее график).

Объем выборки: n =1+3+3+5+2+1=15.

Наименьшая варианта равна: x 1=10, поэтому F *(x)=0 при x ≤10.

Значения X <11, а именно: x ₁=10, наблюдались 1 раз, следовательно, F *(x)=1/15=0,067 при 10< x ≤11.

Значения X <12, а именно: x ₁=10, _{x 2}=11, наблюдались 4 раз, следовательно, F *(x)=4/15=0,267 при 11< x ≤12.

Значения X <13, а именно: x ₁=10, x ₂=11, x ₃=12, наблюдались 7 раз, следовательно, F *(x)=7/15=0,467 при 12< x ≤13.

Значения X <14, а именно: x ₁=10, x ₂=11, x ₃=12, x ₄=13, наблюдались 12 раз, следовательно, F *(x)=12/15=0,8 при 13< x ≤14.

Значения X <15, а именно: x ₁=10, x ₂=11, x ₃=12, x ₄=13, x ₅=14, наблюдались 14 раз, следовательно, F *(x)=14/15=0_.933 при 14< x ≤15.

Т.к. X =15 — наибольшая варианта, то F *(x)=1 при x >15

Выборочная функция распределения:

График выборочной функции распределения:

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Средняя взвешенная

;

Несмещенная оценка дисперсии – состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).

;

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 12,47 в среднем на 1,31.

Задача № 18

Проведена серия из 30 экспериментов со случайной величиной X. По результатам на­блюдений получена выборка значений этой случайной величины. Эта выборка имеет вид: 10; 15; 11,5; 16; 12,5; 10; 13; 14; 10,5; 12; 14; 13; 10,5; 15,5; 14,5; 13; 13; 10; 13,5; 13; 11,5; 16;11; 14; 15; 12; 13; 10; 13; 12,5.

По данной выборке требуется:

1) построить интервальный вариационный ряд, опреде­лив количество групп по формуле Стерджесса;

2) определить численное значение моды M o и медианы Me;

3) дать графическое изображение ряда в виде гистограммы частот, полигона и кумуляты:

4) построить выборочную функцию распределения;

5) найти несмещенную оценку генеральной средней;

6) найти смешенную и несмещенную оценки генеральной дис­персии (т.е. выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию) и соответст­вующие оценки среднего квадратичного отклонения.

Решение

Число групп приближенно определяется по формуле Стэрджесса

n = 1 + 3,2 l o g n

n = 1 + 3,2 l o g (30) = 6

Решение.

Ширина интервала составит:

;

X_max - максимальное значение группировочного признака в совокупности.

X_min - минимальное значение группировочного признака.

Определим границы группы.

Номер группы	Нижняя граница	Верхняя граница

Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп.

Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.

	10 - 11
	10 - 11
	10 - 11
	10 - 11
10,5	10 - 11
10,5	10 - 11
	10 - 11
11,5	11 - 12
11,5	11 - 12
	11 - 12
	11 - 12
12,5	12 - 13
12,5	12 - 13
	12 - 13
	12 - 13
	12 - 13
	12 - 13
	12 - 13
	12 - 13
	12 - 13
13,5	13 - 14
	13 - 14
	13 - 14
	13 - 14
14,5	14 - 15
	14 - 15
	14 - 15
15,5	15 - 16
	15 - 16
	15 - 16

Результаты группировки оформим в виде таблицы:

Группы	№ совокупности	Частота fi
10 - 11	1,2,3,4,5,6,7
11 - 12	8,9,10,11
12 - 13	12,13,14,15,16,17,18,19,20
13 - 14	21,22,23,24
14 - 15	25,26,27
15 - 16	28,29,30

Таблица для расчета показателей.

Группы	xi	Кол-во, fi	xi · fi	Накопленная частота, S	| x – x ср|· f	(x – x ср)^2· f	Частота, fi / n
10 - 11	10,5		73,5		14,23	28,94	0,23
11 - 12	11,5				4,13	4,27	0,13
12 - 13	12,5		112,5		0,3	0,01	0,3
13 - 14	13,5				3,87	3,74	0,13
14 - 15	14,5		43,5		5,9	11,6	0,1
15 - 16	15,5		46,5		8,9	26,4	0,1
Итого					37,33	74,97

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Мода.

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

где x ₀ – начало модального интервала; h – величина интервала; f ₂ –частота, соответствующая модальному интервалу; f ₁ – предмодальная частота; f ₃ – послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 12, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда – 12,5

Медиана.

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 12 - 13, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 12.44

Гистограмма

Полигон

Средняя взвешенная

Среднее линейное отклонение – вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

;

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 1,24

Дисперсия – характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

;

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).

;

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 12,53 в среднем на 1,58

Находим выборочную функцию распределения и строим ее график.

Вычислим объем выборки: n =7+4+9+4+3+3=30.

Наименьшая варианта равна: x 1=10,5, поэтому F *(x)=0 при x ≤10,5.

Значения X <11,5, а именно: x ₁=10,5, наблюдались 7 раз, следовательно, F *(x)=7/30=0,233 при 10,5< x ≤11,5.

Значения X <12,5, а именно: x ₁=10,5, x ₂=11,5, наблюдались 11 раз, следовательно, F *(x)=11/30=0,367 при 11,5< x ≤12,5.

Значения X <13,5, а именно: x 1=10,5, x 2=11,5, x 3=12,5, наблюдались 20 раз, следовательно, F *(x)=20/30=0,667 при 12,5< x ≤13,5.

Значения X <14,5, а именно: x ₁=10,5, x ₂=11,5, x ₃=12,5, x ₄=13,5, наблюдались 24 раз, следовательно, F *(x)=24/30=0.8 при 13,5< x ≤14,5.

Значения X <15,5, а именно: x ₁=10,5, x ₂=11,5, x ₃=12,5, x ₄=13,5, x ₅=14,5, наблюдались 27 раз, следовательно, F *(x)=27/30=0,9 при 14,5< x ≤15,5.

Т.к. X =15,5 — наибольшая варианта, то F *(x)=1 при x >15,5

Дата добавления: 2015-11-04