Системы счисления с иррациональными основаниями

Система счисления Бергмана

В 1957 г. американский математик Джордж Бергман опубликовал статью «A number system with an irrational base». В этой статье автор предложил весьма необычное расширение понятия позиционной системы счисления. Он предложил использовать в качестве основания системы счисления знаменитая золотая пропорция t = , которая обладает весьма любопытными математическими свойствами. В частности, если золотую пропорцию возвести в n- ю степень, то есть получить число t ⁿ, то она может быть выражена в виде суммы двух предыдущих степеней, то есть,

t ⁿ = t ^{n- 1} + t ^{n- 2},

где степень n принимает значение из множества целых чисел {0, ±1, ±2, ±3, …}. Если теперь использовать последовательность чисел t ⁿ { n= 0, ±1, ±2, ±3, …} в качестве «весов разрядов» некоторой двоичной системы счисления, использующей двоичные цифры 0 и 1, то мы получим «двоичную» систему счисления с иррациональным основанием t = , которая имеет следующее математическое выражение:

где А – произвольное действительное число, a_i – двоичные цифры, 0 или 1, i = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …, t ⁱ – вес i- й цифры в системе счисления Бергмана, t — основание системы счисления.

На первый взгляд кажется, что «система Бергмана» не представляет собой ничего особенного по сравнению с традиционным позиционным представлением, но это далеко не так. Вся суть состоит именно в том, что основанием системы счисления является золотая пропорция t = , что порождает ряд весьма интересных математических свойств данной системы. Система счисления Бергмана является «избыточной», что может быть эффективно использовано для ряда практических приложений (контроль арифметических операций, коррекция ошибок в аналого-цифровых преобразователях, самосинхронизация кодовых последовательностей при передаче по каналу связи и др.).

Дата добавления: 2015-10-28