Читайте также:
|
|
Перед рассмотрением решений задач данного раздела следует еще раз просмотреть решения задач п. 3 § 1 и п. 4 § 2.
192. Металлический шар, температура которого в начале опыта была равна 12 °С, охлаждается струей воды, имеющей температуру 0°. Через 8 мин шар охладился до 90. Считая скорость охлаждения пропорциональной разности между температурой тела и температурой охлаждающей среды, определить, в течение какого времени шар охладился до 7°.
Возведя в степень t обе части этого равенства, имеем
Чтобы ответить на вопрос задачи, прологарифмируем по основанию 10 равенство (2):
и положим в полученном равенстве 70= 7:
Отсюда окончательно находим
193. Сосуд вместимостью 100 л наполнен рассолом, содержащим 10 кг растворенной соли. За 1 мин в него втекает Зл воды и столько же смеси перекачивается в другой сосуд той же вместимости, первоначально наполненный водой, из которого избыток жидкости выливается. В какой момент времени количество соли в обоих сосудах окажется одинаковым?
общий интеграл которого имеет вид
Значение постоянной С2 определяем из начальных условий; так как y=0 при t= 0, то С2 = 0. Следовательно, зависимость количества соли у во втором сосуде от времени t выражается равенством
Искомый момент времени, в который количество соли в обоих сосудах станет одинаковым, найдем, полагая х = у:
В этот момент в каждом сосуде окажется по 10/е * 3,68 кг соли.
194. Конденсатор емкостью Q включается в цепь с напряжением U и сопротивлением R. Определить заряд q конденсатора в момент t после включения.
где знак минус показывает, что сила сопротивления направлена в сторону, противоположную движению.
Разделим переменные и проинтегрируем:
В скобках записано развернутое выражение синуса суммы двух углов и а. В результате получим соотношение
выражающее закон простого гармонического колебательного движения.
197. Гиря, поддерживаемая спиральной пружиной, приподнята на расстояние b и затем освобождена. Она начинает падать, причем ее ускорение определяется уравнением , где р — постоянная, as— расстояние от положения равновесия.
Найти уравнение движения.
Для определения произвольных постоянных Л и б воспользуемся начальными условиями. При t=0 имеем s = b; следовательно,
Найдем скорость в данный момент:
и воспользуемся тем, что v = 0 при t = О. Имеем
так как , то А = 0.
Итак, уравнение движения имеет вид s = bcos pt. Функции cos pt — периодическая, поэтому и s является периодической функцией; функция s будет периодически то возрастать, то убывать, т. е. гиря будет совершать колебательное движение то вниз, то вверх.
198. К источнику с э.д.с, равной e(t), подключают контур,
состоящий из последовательно соединенных катушки, индуктивности L, омического сопротивления R и емкости С (рис.206).
Найти силу тока i в цепи как функцию времени t, если в начальный момент времени сила тока в контуре и заряд конденсатора
равны нулю.
20. Это уравнение — интегрально-дифференциальное. Продифференцировав его по t, получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Характеристическое уравнение
имеет корни
Итак, частное решение уравнения принимает вид
Замечание. При рассмотрении второго случая получается линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
которое в данном пособии не рассматривается.
Вопросы и задачи для конспектирования
45. Тело, температура которого 250С, погружено в термостат, в котором поддерживается температура 00С. Зная, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурами тела и окружающей среди, определите, за какое время тело охладится до 10°С, если за 20 мин оно охлаждается до 200С.
Ответы
Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 180 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами | | | Понятие факториала |