|
Читайте также: |
В IV семестрі навчання з вищої математики
1. Пряме перетворення Лапласа. Оригінал та зображення.
2. Зворотне перетворення Лапласа. Формула звернення Рімана - Мелліна.
3. Властивості лінійності і подібності перетворення Лапласа.
4. Властивості запізнювання і зміщення перетворення Лапласа.
5. Диференціювання оригіналу та зображення.
6. Згортка функції. Зображення згортки функції.
7. Рішення диференціальних рівнянь операційним методом.
8. Рішення систем диференціальних зображень операційним методом.
9. Подія. Види подій. Алгебра подій.
10. Класичне і статистичне визначення ймовірності.
11. Геометрична ймовірність. Основні властивості ймовірності.
12. Поняття суми подій. Теорема додавання ймовірностей.
13. Залежні і незалежні події. Поняття твори подій. Теорема множення ймовірностей.
14. Формула повної ймовірності.
15. Формула Байєса (ймовірності гіпотез).
16. Повторення випробувань. Формула Бернуллі.
17. Повторення випробувань. Формула Пуассона.
18. Повторення випробувань. Слідство формула Бернуллі.
19. Повторення випробувань. Формула Муавра - Лапласа.
20. Повторення випробувань. Формула Лапласа.
21. Число незалежних випробувань для настання події хоча б один раз.
22. Ряд і щільність розподілу ймовірностей випадкової величини.
23. Функція розподілу ймовірностей випадкової величини.
24. Числові характеристики стану і їхні властивості.
25. Числові характеристики розсіювання і їх властивості.
26. Биноминальное розподіл ймовірностей.
27. Пуассоновское розподіл ймовірностей.
28. Рівномірний розподіл ймовірностей.
29. Показовий розподіл ймовірностей.
30. Нормальний розподіл ймовірностей.
31. Загальні відомості про випадкових величин. Дискретна і безперервна випадкова величина.
32. Ряд і багатокутник розподілу. Властивості ряду і розподілу.
33. Щільність розподілу ймовірностей безперервних випадкових величин, їх властивості.
34. Інтегральна функція розподілу, її властивості. Зв'язок з низкою і щільністю розподілу.
35. Застосування інтегральної функції для визначення імовірності попадання на заданий інтервал.
36. Застосування диференціальної функції для визначення імовірності попадання на заданий інтервал.
37. Закони розподілу ймовірностей (загальні, приватні, умовні) систем випадкових величин.
38. Числові характеристики систем випадкових величин.
39. Нормальний розподіл ймовірностей систем випадкових величин.
40. Закони розподілу ймовірностей систем випадкових величин
41. Нерівність Чебишева.
42. Теорема Чебишева.
43. Теорема Бернуллі.
44. Основні поняття і визначення математичної статистики.
Контрольна робота № 4
(для курсантів - заочників всіх спеціальностей)
Завдання 1.
Користуючись перетворенням Лапласа і основними його властивостями, знайти зображення функцій:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
;
7. 
;
8. 
;
9. 
;
10. 
.
11. ;
12. ;
13. ;
14. ;
15. ;
16. ;
17. ;
18. ;
19. ;
20. .
Завдання 2.
За відомим зображення F(p) знайти оригінал.
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
6. 
;
7. 
;
8. 
;
9. 
;
10. 
;
11. ;
12. ;
13. ;
14. ;
15. ;
16. ;
17. ;
18. ;
19. ;
20. ;
Завдання 3.
Методами операційного обчислення знайти рішення диференціального рівняння, що задовольняє початкових умов.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Завдання 4.
Вирішити систему диференціальних рівнянь при заданих початкових умов.
1. 
2. 
3. 
.
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
.
11.
12.
13. .
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20. .
Завдання 1.
Безпосередній підрахунок ймовірностей подій.
1. В партії з 15 деталей є 10 стандартних. Навмання відібрано 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед відібраних деталей 4 стандартних.
2. У цеху працюють 6 чоловіків і 4 жінки. З табельною номерами навмання відібрані 7 осіб. Знайти ймовірність того, що серед відібраних осіб виявляться 3 жінки.
3. На складі є 12 кінескопів, причому 10 з них виготовлені Львівським заводом. Знайти ймовірність того, що серед навмання взятих 5 кінескопів виявляться 3 кінескопа Львівського заводу.
4. У групі 20 студентів, серед яких 3 відмінника. За списком навмання відібрані 12 студентів. Знайти ймовірність того, що серед відібраних студентів виявляться 2 відмінника.
5. У коробці є 15 однакових виробів, причому 3 з них пофарбовані. Навмання витягли 2 вироби. Знайти ймовірність того, що серед вилучених виробів одне пофарбовано.
6. На об'єкт проводиться наліт дев'яти однотипних літаків, з яких 2 є носіями спеціального зброї. Силами ППО збито 5 літаків. Знайти ймовірність того, що збито обидва носії спеціального зброї.
7. З урни, в якій знаходиться 5 білих і чорних кулі, навмання виймають 2 кулі. Знайти ймовірність того, що обидва вийнятих кулі різнокольорові.
8. З 10 лотерейних квитків 3 є виграшним. Знайти ймовірність того, що серед 5 навмання вибраних квитків один квиток є виграшним.
9. Серед 7 гвинтівок 2 є непристреленными. Знайти ймовірність того, що серед 3 навмання вибраних гвинтівок, одна виявиться непристреленной.
10. Серед 12 годин 8 штук потребують тільки в загальній чищенні. Знайти ймовірність того, що з 6 навмання вибраних годин, 3 потребуватимуть тільки в загальній чищенні.
11. В партії з 15 деталей є 10 стандартних. Навмання відібрано 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед відібраних деталей 4 стандартних.
12. У цеху працюють 6 чоловіків і 4 жінки. З табельною номерами навмання відібрані 7 осіб. Знайти ймовірність того, що серед відібраних осіб виявляться 3 жінки.
13. На складі є 12 кінескопів, причому 10 з них виготовлені Львівським заводом. Знайти ймовірність того, що серед навмання взятих 5 кінескопів виявляться 3 кінескопа Львівського заводу.
14. У групі 20 студентів, серед яких 3 відмінника. За списком навмання відібрані 12 студентів. Знайти ймовірність того, що серед відібраних студентів виявляться 2 відмінника.
15. У коробці є 15 однакових виробів, причому 3 з них пофарбовані. Навмання витягли 2 вироби. Знайти ймовірність того, що серед вилучених виробів одне пофарбовано.
16. На об'єкт проводиться наліт дев'яти однотипних літаків, з яких 2 є носіями спеціального зброї. Силами ППО збито 5 літаків. Знайти ймовірність того, що збито обидва носії спеціального зброї.
17. З урни, в якій знаходиться 5 білих і чорних кулі, навмання виймають 2 кулі. Знайти ймовірність того, що обидва вийнятих кулі різнокольорові.
18. З 10 лотерейних квитків 3 є виграшним. Знайти ймовірність того, що серед 5 навмання вибраних квитків один квиток є виграшним.
19. Серед 7 гвинтівок 2 є непристреленными. Знайти ймовірність того, що серед 3 навмання вибраних гвинтівок, одна виявиться непристреленной.
20. Серед 12 годин 8 штук потребують тільки в загальній чищенні. Знайти ймовірність того, що з 6 навмання вибраних годин, 3 потребуватимуть тільки в загальній чищенні.
Завдання 2.
Теореми додавання і множення ймовірностей.
1. Для сигналізації про аварії встановлені 2 сигналізатора. Ймовірність того, що при аварії спрацює перший сигналізатор, дорівнює 0,95, другий - 0,9. Знайти ймовірність того, що при аварії спрацює тільки один сигналізатор.
2. Для руйнування мосту, досить попадання однієї авіаційної бомби. Знайти ймовірність того, що міст буде зруйнований, якщо на нього будуть викинуті 4 бомби з вірогідністю попадання, відповідно рівними 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
3. Два стрілка стріляють по мішені. Вірогідність попадання в мішень при одному пострілі для першого стрілка дорівнює 0,7, а для другого 0,8. Знайти ймовірність того, що при одному залпе в мішень потрапляє тільки один з стрільців.
4. З партії виробів товаровед відбирає вироби вищого гатунку. Ймовірність того, що навмання взяте виріб опиниться вищого сорту, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що з трьох перевірених виробів буде тільки 2 вироби вищого сорту.
5. Літак супротивника захоплюється трьома РЛС незалежно друг від друга відповідно з вірогідністю 0,8; 0,6 і 0,5. Знайти ймовірність захоплення літака всіма трьома станціями.
6. Для певної місцевості середнє число похмурих днів у липні дорівнює шести. Знайти ймовірність того, що суди першої та другого липня буде ясна погода.
7. Студент знає 20 з 25 питань програми. Знайти ймовірність того, що студент знає запропоновані йому екзаменатором 3 питання.
8. Два мисливця стріляють по оленя. Перший мисливець може потрапити в оленя з вірогідністю 0,7, а другий - з вірогідністю 0,6. Знайти ймовірність того, що в оленя мисливці не потраплять.
9. Студент розшукує потрібну йому формулу в трьох довідниках. Ймовірності того, що формула міститься в першому, другому і третьому довіднику відповідно рівні 0,6; 0,7; 0,8. Знайти ймовірність того, що міститься формула тільки в одному довіднику.
10. У цеху працюють 7 чоловіків і три жінки. З табельною номерами відібрали 3 людини. Знайти ймовірність того, що всі відібрані особи виявляться чоловіками.
11. Для сигналізації про аварії встановлені 2 сигналізатора. Ймовірність того, що при аварії спрацює перший сигналізатор, дорівнює 0,95, другий - 0,9. Знайти ймовірність того, що при аварії спрацює тільки один сигналізатор.
12. Для руйнування мосту, досить попадання однієї авіаційної бомби. Знайти ймовірність того, що міст буде зруйнований, якщо на нього будуть викинуті 4 бомби з вірогідністю попадання, відповідно рівними 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
13. Два стрілка стріляють по мішені. Вірогідність попадання в мішень при одному пострілі для першого стрілка дорівнює 0,7, а для другого 0,8. Знайти ймовірність того, що при одному залпе в мішень потрапляє тільки один з стрільців.
14. З партії виробів товаровед відбирає вироби вищого гатунку. Ймовірність того, що навмання взяте виріб опиниться вищого сорту, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що з трьох перевірених виробів буде тільки 2 вироби вищого сорту.
15. Літак супротивника захоплюється трьома РЛС незалежно друг від друга відповідно з вірогідністю 0,8; 0,6 і 0,5. Знайти ймовірність захоплення літака всіма трьома станціями.
16. Для певної місцевості середнє число похмурих днів у липні дорівнює шести. Знайти ймовірність того, що суди першої та другого липня буде ясна погода.
17. Студент знає 20 з 25 питань програми. Знайти ймовірність того, що студент знає запропоновані йому екзаменатором 3 питання.
18. Два мисливця стріляють по оленя. Перший мисливець може потрапити в оленя з вірогідністю 0,7, а другий - з вірогідністю 0,6. Знайти ймовірність того, що в оленя мисливці не потраплять.
19. Студент розшукує потрібну йому формулу в трьох довідниках. Ймовірності того, що формула міститься в першому, другому і третьому довіднику відповідно рівні 0,6; 0,7; 0,8. Знайти ймовірність того, що міститься формула тільки в одному довіднику.
20. У цеху працюють 7 чоловіків і три жінки. З табельною номерами відібрали 3 людини. Знайти ймовірність того, що всі відібрані особи виявляться чоловіками.
Завдання 3.
Формула повної ймовірності. Формула Байєса.
1. Є 2 однакові на вигляд урни. В одній з них 5 білих і 3 чорних кулі, а в іншій 4 білих і 5 чорних куль. З навмання обраної урни навмання був витягнутий чорний шар. З якою урни найімовірніше він був витягнутий?
2. Серед семи гвинтівок три гвинтівки є непристреленными. Вірогідність попадання в ціль з пристреленной гвинтівки дорівнює 0,8, а з непристреленной 0,1. Пострілом з навмання взятої гвинтівки мета вражена. Знайти ймовірність того, що ураження цілі було вироблено з непристреленной гвинтівки.
3. Стрільба підводного човна за береговому об'єкту може проводитися з однією з трьох позицій, ймовірність виходу на які дорівнюють відповідно 0,2; 0,3 і 0,5. Ймовірності ураження цілі з даних позицій рівні відповідно 0,85; 0,75; 0,4. Проведена стрільба, в результаті якої мета була вражена. З якої позиції найімовірніше проводилася стрільба?
4. Кількість вантажних автомашин, що проїжджають по шосе, на якому стоїть бензоколонка, належить до легкових автомашин як 3:2. Ймовірність того, що буде заправлятися вантажна машина, дорівнює 0,1. Для легкової машини ця ймовірність дорівнює 0,2. До бензоколонці під'їхала для заправки машина. Знайти ймовірність того, що це вантажна машина.
5. Три стрілка провели залп, причому дві кулі вразили мішень. Знайти ймовірність того, що третій стрілок вразив мішень, якщо ймовірність потрапити в мішень першим, другим і третім стрілками відповідно рівні.
6. Два з трьох незалежно працюючих елементів пристрою відмовили. Знайти ймовірність того, що відмовили перший і другий елементи, якщо ймовірність відмови першого, другого і третього елементів відповідно рівні.
7. Два автомати роблять однакові деталі, які скидаються на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більше продуктивності другого. Перший автомат виробляє в середньому 60% деталей відмінної якості, а другий - 84%. Навмання взята з конвеєра деталь виявилася відмінної якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь проведена першим автоматом.
8. З 18 стрільців 6 потрапляють в мішень з вірогідністю 0,9;
7 з вірогідністю 0,8; 3 - з вірогідністю 0,6 і 2 з вірогідністю 0,5. Навмання вибраний стрілок виробляє два постріли і робить промахи. До якої групи найімовірніше належав стрілок?
9. При розриві снаряда виявляються осколки трьох категорій: великі, середні та дрібні в кількості, відповідно, 10%, 30% і 60%. При попаданні в броню великий пробиває її з вірогідністю 0,9; середній 0,2 і дрібний 0,05. В результаті розриву снаряда в броню потрапив один осколок і пробив її. Яка ймовірність того, що осколок великий?
10. Є три партії за 20 деталей у кожній. Кількість стандартних деталей у першої, другої і третьої партії відповідно одно 20, 15, 10. З навмання взятої партії навмання витягнуто деталь, яка є стандартною. Знайти ймовірність того, що деталь була вилучена з третьої партії.
11. Є 2 однакові на вигляд урни. В одній з них 5 білих і 3 чорних кулі, а в іншій 4 білих і 5 чорних куль. З навмання обраної урни навмання був витягнутий чорний шар. З якою урни найімовірніше він був витягнутий?
12. Серед семи гвинтівок три гвинтівки є непристреленными. Вірогідність попадання в ціль з пристреленной гвинтівки дорівнює 0,8, а з непристреленной 0,1. Пострілом з навмання взятої гвинтівки мета вражена. Знайти ймовірність того, що ураження цілі було вироблено з непристреленной гвинтівки.
13. Стрільба підводного човна за береговому об'єкту може проводитися з однією з трьох позицій, ймовірність виходу на які дорівнюють відповідно 0,2; 0,3 і 0,5. Ймовірності ураження цілі з даних позицій рівні відповідно 0,85; 0,75; 0,4. Проведена стрільба, в результаті якої мета була вражена. З якої позиції найімовірніше проводилася стрільба?
14. Кількість вантажних автомашин, що проїжджають по шосе, на якому стоїть бензоколонка, належить до легкових автомашин як 3:2. Ймовірність того, що буде заправлятися вантажна машина, дорівнює 0,1. Для легкової машини ця ймовірність дорівнює 0,2. До бензоколонці під'їхала для заправки машина. Знайти ймовірність того, що це вантажна машина.
15. Три стрілка провели залп, причому дві кулі вразили мішень. Знайти ймовірність того, що третій стрілок вразив мішень, якщо ймовірність потрапити в мішень першим, другим і третім стрілками відповідно рівні.
16. Два з трьох незалежно працюючих елементів пристрою відмовили. Знайти ймовірність того, що відмовили перший і другий елементи, якщо ймовірність відмови першого, другого і третього елементів відповідно рівні.
17. Два автомати роблять однакові деталі, які скидаються на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більше продуктивності другого. Перший автомат виробляє в середньому 60% деталей відмінної якості, а другий - 84%. Навмання взята з конвеєра деталь виявилася відмінної якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь проведена першим автоматом.
18. З 18 стрільців 6 потрапляють в мішень з вірогідністю 0,9; 7 з вірогідністю 0,8; 3 - з вірогідністю 0,6 і 2 з вірогідністю 0,5. Навмання вибраний стрілок виробляє два постріли і робить промахи. До якої групи найімовірніше належав стрілок?
19. При розриві снаряда виявляються осколки трьох категорій: великі, середні та дрібні в кількості, відповідно, 10%, 30% і 60%. При попаданні в броню великий пробиває її з вірогідністю 0,9; середній 0,2 і дрібний 0,05. В результаті розриву снаряда в броню потрапив один осколок і пробив її. Яка ймовірність того, що осколок великий?
20. Є три партії за 20 деталей у кожній. Кількість стандартних деталей у першої, другої і третьої партії відповідно одно 20, 15, 10. З навмання взятої партії навмання витягнуто деталь, яка є стандартною. Знайти ймовірність того, що деталь була вилучена з третьої партії.
Завдання 4.
Повторення випробувань. Формула Бернуллі.
Вірогідність попадання стрільцем в ціль дорівнює р. Зроблено п пострілів. Знайти:
a) Ймовірність промахи;
b) Ймовірність ураження цілі;
c) Вірогідність до попадання в ціль.
| 1. | р =0,4 | п= 5 | к= 3 |
| 2. | р =0,6 | п =10 | к= 2 |
| 3. | р =0,5 | п =7 | к= 1 |
| 4. | р =0,9 | п =8 | к= 3 |
| 5. | р =0,8 | п =6 | к= 2 |
| 6. | р =0,5 | п =12 | к= 4 |
| 7. | р =0,6 | п =4 | к= 2 |
| 8. | р =0,3 | п =10 | к= 3 |
| 9. | р =0,4 | п =8 | к= 1 |
| 10. | р =0,3 | п =6 | к= 2 |
| 11. | р =0,4 | п= 5 | к= 3 |
| 12. | р =0,6 | п =10 | к= 2 |
| 13. | р =0,5 | п =7 | к= 1 |
| 14. | р =0,9 | п =8 | к= 3 |
| 15. | р =0,8 | п =6 | к= 2 |
| 16. | р =0,5 | п =12 | к= 4 |
| 17. | р =0,6 | п =4 | к= 2 |
| 18. | р =0,3 | п =10 | к= 3 |
| 19. | р =0,4 | п =8 | к= 1 |
| 20. | р =0,3 | п =6 | к= 2 |
Завдання 5.
Дискретні випадкові величини.
За мети вироблено два незалежних пострілу з вірогідністю попадання при кожному пострілі відповідно р1 і р2. Для випадкового числа попадання в ціль скласти ряд і функцію розподілу. Побудувати їх графіки. Знайти М[х], D[x], G[x].
| 1. | Р 1=0,4 | Р 2=0,5 | 11. | Р 1=0,4 | Р 2=0,5 |
| 2. | Р 1=0,3 | Р 2=0,6 | 12. | Р 1=0,3 | Р 2=0,6 |
| 3. | Р 1=0,2 | Р 2=0,3 | 13. | Р 1=0,2 | Р 2=0,3 |
| 4. | Р 1=0,1 | Р 2=0,7 | 14. | Р 1=0,1 | Р 2=0,7 |
| 5. | Р 1=0,6 | Р 2=0,4 | 15. | Р 1=0,6 | Р 2=0,4 |
| 6. | Р 1=0,7 | Р 2=0,5 | 16. | Р 1=0,7 | Р 2=0,5 |
| 7. | Р 1=0,8 | Р 2=0,3 | 17. | Р 1=0,8 | Р 2=0,3 |
| 8. | Р 1=0,9 | Р 2=0,2 | 18. | Р 1=0,9 | Р 2=0,2 |
| 9. | Р 1=0,5 | Р 2=0,8 | 19. | Р 1=0,5 | Р 2=0,8 |
| 10. | Р 1=0,4 | Р 2=0,7 | 20. | Р 1=0,4 | Р 2=0,7 |
Завдання 6.
Неперервні випадкові величини.
Безперервна випадкова величина Х задана щільністю розподілу р(х). Потрібно:
1). Визначити коефіцієнт С;
2). Знайти функцію розподілу F(x);
3). Побудувати графіки р(x) та F(x);
4). Знайти ймовірність того, що випадкова величина Х приймає значення інтервалу (α; β).
| 1. |   
| α =2; β =3 |
| 2. |  
| α =-5; β =0,5 |
| 3. | 
| α =1; β =3 |
| 4. | 
| α =0; β =1 |
| 5. |  
| α =0; β =3 |
| 6. |  
| α =1; β =2,5 |
| 7. | 
| α =2; β =3 |
| 8. |  
| α =1,5; β =2 |
| 9. | 
| α =1; β =3/2 |
| 10. | 
| α =0,5; β =1 |
| 11. |
| α=2; β=3 |
| 12. |
| α=-5; β=0,5 |
| 13. |
| α=1; β=3 |
| 14. |
| α=0; β=1 |
| 15. |
| α=0; β=3 |
| 16. |
| α=1; β=2,5 |
| 17. |
| α=2; β=3 |
| 18. |
| α=1,5; β=2 |
| 19. |
| α=1; β=3/2 |
| 20. |
| α=0,5; β=1 |
Завдання 7.
Нормальний закон розподілу випадкової величини.
Випадкова величина Х підпорядковується нормальному закону з параметрами m і σ.
Скласти щільність розподілу цієї випадкової величини р(х) і знайти ймовірність того, що випадкова величина потрапить у інтервал (α;β).
| 1. | m =3 | σ =2 | α = -3; β = 2 |
| 2. | m =0 | σ =4 | α = -2; β = 3 |
| 3. | m =-2 | σ =2 | α = 0; β = 4 |
| 4. | m =6 | σ =2 | α = 4; β = 8 |
| 5. | m =20 | σ =10 | α = 17; β = 23 |
| 6. | m =2 | σ =0,5 | α = 0; β = 4 |
| 7. | m =5 | σ =20 | α = 0; β = 15 |
| 8. | m =4 | σ =0,5 | α = 3; β = 5 |
| 9. | m =20 | σ =10 | α = 10; β = 30 |
| 10. | m =0 | σ =14 | α = -10; β = 10 |
| 11. | m =3 | σ =2 | α = -3; β = 2 |
| 12. | m =0 | σ =4 | α = -2; β = 3 |
| 13. | m =-2 | σ =2 | α = 0; β = 4 |
| 14. | m =6 | σ =2 | α = 4; β = 8 |
| 15. | m =20 | σ =10 | α = 17; β = 23 |
| 16. | m =2 | σ =0,5 | α = 0; β = 4 |
| 17. | m =5 | σ =20 | α = 0; β = 15 |
| 18. | m =4 | σ =0,5 | α = 3; β = 5 |
| 19. | m =20 | σ =10 | α = 10; β = 30 |
| 20. | m =0 | σ =14 | α = -10; β = 10 |
Дата добавления: 2015-11-04; просмотров: 229 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Жизнь пройти – не поле перейти. | | | Перечень ситуационных задач по учебной практике «Уход за больными хирургического профиля» с эталонами ответов (для экзамена). |