Анализ схемы и заданной ЭДС

К рассмотрению представлена схема однозвенного, п-образного LC фильтра высших частот типа k. Она состоит из включенного в горизонтальную ветвь конденсатора и двух индуктивностей, включенных в вертикальные ветви (Рис. 5).

Рис. 5

Так как на деле при постройке такого фильтра мы будем иметь дело не с идеальными элементами, а с реальными радиодеталями, рассмотрим схемы замещения реальных электрических элементов.

Реальные конструктивные реактивные элементы, такие как катушки индуктивности и конденсаторы, отличаются от идеальных индуктивностей L и ёмкостей C наличием потерь. Поэтому для повышения точности расчётов необходимо учитывать отличия между идеальными и реальными элементами.

Катушки индуктивности характеризуют величиной индуктивности и добротностью , величина которой равна отношению реактивной составляющей полного сопротивления катушки к активной составляющей , то есть . Отсюда получаем

Значения добротностей для реальных катушек индуктивности находятся в пределах от 20 до 100, а иногда более.

Поэтому реальная индуктивность в диапазоне средних и высоких частот может быть представлена в виде последовательного соединения идеальной индуктивности и паразитного сопротивления потерь (рис. 6).

Рис. 6. Эквивалентная электрическая схема катушки индуктивности

Следовательно,

В конденсаторах, находящихся под действием переменного электрического поля, имеют место потери энергии, обусловленные внутренним трением молекул диэлектрика из-за поляризации его молекул, что приводит к нагреву конденсатора. Потери энергии означают, что реальный конденсатор, кроме идеальной ёмкости , имеет сопротивление потерь , которое можно представить включённым последовательно с (рис. 7 а).

Рис. 7. Последовательная эквивалентная схема замещения конденсатора (а) и векторная диаграмма (б)

Фаза между током и напряжением в конденсаторе будет меньше на некоторый угол, обозначаемый символом и называемый углом диэлектрических потерь (рис. 7 б).

Так как , , то .

Отсюда получаем:

.

Поэтому сопротивление реального конденсатора при последовательной схеме замещения можно выразить формулой

.

В широком диапазоне частот , как правило, постоянный и

– для низкочастотных металлобумажных конденсаторов имеет величину в пределах 0,01 ÷ 0,02,

– для керамических низкочастотных – 0,025 ÷ 0,035,

– для керамических высокочастотных – 0,0125 ÷ 0,0145,

– для слюдяных < 0,001.

Величину, обратную , называют добротностью конденсатора.

Так как предполагается, что наш фильтр будет соединяться с другими устройствами, например с усилителем мощности звуковой частоты, будет удобно рассчитывать его, используя А-параметры.

Соотношения между токами и напряжениями на входе и выходе четырёхполюсника (рис. 8) в форме А-параметров записывают в виде: [1, с. 13]

Рис. 8. Четырёхполюсник нагруженный

для симметричного П-образного звена имею место выражения: [1, с.14]

Рис. 9. П-образный симметричный четырёхполюсник.

Для расчета реальных компонентов применим формулы: [1, с.48]

Коэффициентом передачи четырёхполюсника по напряжению, ча­ще просто "коэффициентом передачи", называют отношение выходного напряжения к входному

Входным сопротивлением четырёхполюсника называют отношение входного напряжения к входному току, то есть

где – сопротивление нагрузки четырёхполюсника.

В курсовой работе принято, что сопротивление нагрузки и внутреннее сопротивление источника входной ЭДС являются активными величинами.

Для расчёта формы входного напряжения надо найти его спектр на входном сопротивлении схемы:

,

где – коэффициент передачи по входу, и – -е гармоники спектров ЭДС и входного напряжения соответственно, причём в идеальном случае .

Форму входного напряжения в установившемся режиме можно найти как сумму всех гармоник. Реально можно ограничиться минимальной величиной гармоники , а для более точного воспроизведения формы – значением , где N – номер гармоники, начиная с которой суммой гармоник передается не менее 95% мощности входной ЭДС. Для расчёта формы выходного напряжения надо найти его спектр на сопротивлении нагрузки, используя формулу:

.

Форму выходного напряжения в установившемся режиме можно найти как сумму гармоник от нулевой до или .

Входная ЭДС задана уравнением и имеет следующую форму (Рис. 10):

Рис. 10

Основными задачами анализа ЭДС является нахождение спектра заданной ЭДС и нахождение ширины этого спектра, используя условие, что мощность, передаваемая гармониками спектра, должна составлять не менее 95% мощности, передаваемой всей ЭДС.

Для того, чтобы найти спектр входной ЭДС требуется разложить функцию в ряд Фурье. Рассмотрим способы разложения.

Известно, что любую периодическую функцию , удовлетворяющую условиям Дирихле, т.е. имеющую на всяком конечном интервале конечное число разрывов первого рода и конечное число экстремумов, можно представить в виде ряда Фурье [1, с.9]:

где

– среднее значение функции за период или постоянная составляющая спектра, называемая нулевой гармоникой,

и

– амплитуды косинусоидальных и синусоидальных составляющих спектра соответственно,

– амплитуда -й гармоники спектра,

– начальная фаза -й гармоники,

– угловая частота первой гармоники (рад ⁄с),

– циклическая частота первой гармоники спектра или основная частота (Гц),

– период повторения функции ,

– любой произвольно выбранный момент времени,

номер гармоники.

Приведённые формулы позволяют найти спектр любой периодической функции , если она удовлетворяет указанным ограничениям.

Теоретически спектр периодической функции бесконечен. Однако на практике под шириной спектра понимают диапазон частот , в пределах которого суммарная мощность гармоник составляет 90% или более от средней активной мощности сигнала за период.

Среднюю за период активную мощность сигнала можно найти по формуле

(1)

где – напряжение или ток, а соответствующие им коэффициенты пропорциональности или приняты равными единице.

При использовании ряда Фурье среднюю за период мощность сиг­нала, переносимую постоянной составляющей и первыми гармониками, можно найти по формуле

(2)

По заданному отношению с помощью формул (1) и (2) можно найти номер максимальной гармоники и рассчитать ширину спектра как или .

Произведем расчеты с использованием среды Mathcad 14, для этого введем обозначения:

F= 40кГц, k = 3000 Ом, f₁ = 1,5F, f₂ = ∞, R_н = 1,5 k, R_н1 = 3 k

Исходная функция, определяющая ЭДС:

Значение E примем равной константе для расчетов.

Период выразим через заданную частоту: F = f = 40 кГц, T=1/F мкс.

Рассчитаем коэффициенты ряда Фурье:

a_k =

b_k = 0, т.к. функция четная.

Обозначим An как Сn чтобы программа Mathcad не выдавала ошибок об одинаковом имени переменных.

Произведем расчет:

Найдем среднее значение мощности всей ЭДС и сравним с значениями для каонкретного числа гармоник вплоть до выполнения условия:

Средняя мощность всей ЭДС:

P_sr = 1/9

Мощность i гармоник.

После расчетов получаем:

Как мы видим, 95% от средней мощности всей ЭДС передается, начиная с 3-й гармоники спектра. Принимаем N=3. Принимая, что частота ЭДС равна 40 кГц ширина спектра будет равна кГц.

Построим спектр входной ЭДС

Рис. 11

Составим из полученных коэффициентов ряд Фурье по формуле:

Построим график сигнала, образованного 3-мя первыми гармониками спектра:

Произведем расчет номинальных величин элементов фильтра. Для этого воспользуемся формулами: [1, с. 48]

Где по исходным данным k = 3000Ом, Rn = 3 k, f₁ = 1.5F= 60 кГц. Произведя расчеты, получим: L₂ = 3,98 мГн, C ₁ = 442 пф. Из стандартного ряда выбираем конденсатор емкостью 430 пф. Произведем перерасчет частоты среза, с учетом выбора емкости из стандартного ряда: f₁пр = , f₁пр =60,86 кГц.

Как мы можем видеть, полученная и требуемая частоты среза совпадают на 98,5%. Ввиду небольшой ошибки можем пренебречь перерасчетом индуктивности под емкость, выбранную из стандартного ряда.

Принимая во внимание, что индуктивность каждой из катушек фильтра вдвое больше L ₂ (Рис. 12), выбираем реальные значения индуктивностей катушек L = 7,96 мГн, а емкость конденсатора C = 430 пф.

Рис. 12

Для дальнейших расчетов применим выбранный способ - расчет четырехполюсника через А-параметры.

Произведем расчет входного сопротивления фильтра и построим график зависимости его модуля от частоты, а так же его ФЧХ.

Z2 = 2

Z1 = [1, с. 11,12]

Где, Rn = Rн - сопротивление нагрузки.

Рис. 13(а) Рис. 13(б)

На графиках представлены зависимости модуля (Рис.13(а)) и фазы (Рис.13(б)) входного сопротивления фильтра от частоты.

Рассмотрим спектр входного напряжения. Он определяется формулой (3),где – -я гармоника входного напряжения

Рассчитаем его значения, используя Mathcad

, где R_g – сопротивление генератора сигнала.

Примем K1_k = K1_n.

Построим спектр входного напряжения (Рис.14):

Рис. 14

Как мы можем наблюдать, он мало чем отличается от спектра входной ЭДС, Это можно объяснить тем, что коэффициент передачи по входу практически постоянен и близок к 1 (Рис. 15).

Рис. 15

Рассчитаем и построим графики зависимости полного коэффициента передачи и спектральной его составляющей в зависимости от частоты, а так же зависимость их фазы о частоты (Рис. 16а,б).

Рис. 16 а Рис. 16 б

Для удобства и наглядности на графиках представлены кривые АЧХ и ФЧХ как полного коэффициента передачи, так и коэффициента передачи, без учета сопротивления генератора.

Рассчитаем и построим график выходного напряжения с учетом искажений, вносимых фильтром:

Аналогично произведем перерасчет при тех же параметрах, но с вдвое меньшим сопротивлением нагрузки Rn₁ = 1,5 k.

Построим зависимости модуля и фазы входного сопротивления (рис.17а, б):

Рис. 17 а Рис.17 б

Построим спектр входного напряжения (Рис. 18):

Рис. 18

Как и в прошлый раз значения коэффициента передачи по входу близки к 1.

График входного коэффициента передачи представлен на Рис. 19

Рис. 19

Построим АЧХ и ФЧХ фильтра (Рис. 20 а, б):

Рис. 20 а Рис. 20 б

Построим график выходного сигнала фильтра с учетом искажений:

Выводы:

В ходе данной курсовой работы было проделано следующее:

· Анализ технического задания и выбор методов его решения;

· Синтез входной эдс с последующим анализом;

· Расчет элементов фильтра;

· Расчет и анализ характеристик фильтра для двух разных сопротивлений нагрузки.

В ходе курсовой работы были изучены различные методы решения поставленной задачи, и был выбран самый эффективный из них.

С помощью математической среды Mathcad 14 были произведены расчеты элементов фильтра по заданным параметрам, а так же были рассчитаны АЧХ и ФЧХ этого фильтра при различных сопротивлениях нагрузки.

По расчетным данным и построенным графикам можно судить о характеристиках фильтра. Искажения, вносимые им в форму сигнала достаточно велики, это объясняется различными факторами. Например, конденсатор в фильтре не может заряжаться и разряжаться мгновенно, он тратит на это время, внося искажения в форму сигнала во время заряда. Катушка индуктивности так же создает сопротивление току в момент нарастания сигнала. Все это вносит искажения.

Также мы можем наблюдать увеличение коэффициента передачи практически во всем диапазоне полосы фильтрации при увеличении сопротивления нагрузки. Это объясняется тем, что АЧХ фильтра зависит от согласованности сопротивления нагрузки с выходным сопротивлением фильтра.

Список литературы:

1. Методические указания к курсовой работе.: Тула, 2013

2. Давыдов В.В. Конспект лекций по основам теории цепей.: Тула, 2009

3. Попов В.П. Основы теории цепей – М.: высшая школа, 1985 – 497с.

4. Конашинский Д.А. Электрические фильтры – М.: Госэнергоиздат, 1949 – 76с.

5. Попов П.А. Расчет частотных электрических фильтров. Библиотека по радиоэлектронике – Л.: Энергия, 1966 – 216с.

6. Интернет-портал «электроника для всех»: http://easyelectronics.ru/

Дата добавления: 2015-11-04